Aufgabe 1054
AHS - 1_054 & Lehrstoff: AG 2.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Quadratische Gleichung
Gegeben ist eine quadratische Gleichung der Form \({x^2} + px + q = 0{\text{ mit }}p,\,\,\,q \in \mathbb{R}\)
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht!
Die quadratische Gleichung hat jedenfalls für x __________1________ in \(\mathbb{R}\), wenn ______2________ gilt.
1 | |
keine Lösung | A |
genau eine Lösung | B |
zwei Lösungen | C |
2 | |
\(p \ne 0{\text{ und }}q < 0\) | I |
\(p = q\) | II |
\(p < 0{\text{ und }}q > 0\) | III |
Lösungsweg
Betrachten wir A: Den Fall "keine Lösung" können wir sofort ausschließen, da wir lt Angabe im Bereich der reellen Zahlen und nicht Bereich der komplexen Zahlen agieren. A kommt demnach nicht in Frage
Betrachten wir B: Im Fall "genau eine Lösung" muss die Diskriminante D=0 sein. Das ist nur dann der Fall, wenn \(D = {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2} - q = 0 \leftrightarrow \dfrac{{{p^2}}}{4} = q\) doch diesen Zusammenhang gibt es unter I, II oder III nicht. B kommt demnach nicht in Frage.
Betrachten wir C: Im Fall "zwei Lösungen" in \({\Bbb R}\) muss D > 0 sein. Die Diskriminante D besteht aus 2 Termen: Der 1. Term \({\left( {\frac{p}{2}} \right)^2}\) ist für alle \(p \ne 0\) auf Grund des Quadrats jedenfalls positiv. Der 2. Term \(- q\) ist für alle \(q < 0\) jedenfalls positiv ("minus" mal "minus" ist "positiv"). Dies entspricht der unter I angebotenen Lösung. Die Lösung lautet somit C + I
Die quadratische Gleichung hat jedenfalls für x zwei Lösungen in \({\Bbb R}\) , wenn \(p \ne 0{\text{ und }}q < 0\) gilt.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Die quadratische Gleichung hat jedenfalls für x zwei Lösungen in \({\Bbb R}\) , wenn \(p \ne 0{\text{ und }}q < 0\) gilt.
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn für beide Lücken jeweils die zutreffende Antwortmöglichkeit "C" und "I" angekreuzt ist.