Aufgabe 1016
AHS - 1_016 & Lehrstoff: AG 2.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Benzinverbrauch
Der Zusammenhang zwischen dem Benzinverbrauch y (in l/100 km) und der Geschwindigkeit x (in km/h) kann für einen bestimmten Autotyp durch die Funktionsgleichung \(y = 0,0005 \cdot {x^2} - 0,09 \cdot x + 10\) beschrieben werden.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie rechnerisch, bei welcher Geschwindigkeit der Verbrauch 6 l/100 km beträgt!
Lösungsweg
Gemäß dem „Fundamentalsatz der Algebra“ hat jede algebraische Gleichung n-ten Grades im Bereich der komplexen Zahlen genau n Lösungen, wenn man die Lösungen mit ihrer Vielfachheit zählt. Die gegebene Gleichung 2. Grades hat daher 2 Lösungen, die wir errechnen müssen.
Wir schreiben die Gleichung an und bringen sie in die sogenannte Normalform, dh rechts vom Gleichheitszeichen steht eine 0:
\(\begin{array}{l} 6 = 0,0005 \cdot {x^2} - 0,09 \cdot x + 10\,\,\,\,\,\left| { - 6} \right.\\ 0 = 0,0005 \cdot {x^2} - 0,09 \cdot x + 4\,\,\,\,\,\left| { \cdot 2000} \right.\\ {x^2} - 180x + 8000 = 0 \end{array}\)
Es bietet sich die Lösung unter Verwendung der abc Formel an (auch Mitternachtsformel genannt):
\(\begin{array}{l} a{x^2} + bx + c = 0\\ {x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \end{array}\)
mit a=1, b=-180 und c=-8000
\(\begin{array}{l} {x_{1,2}} = \dfrac{{ - \left( { - 180} \right) \pm \sqrt {{{\left( { - 180} \right)}^2} - 4 \cdot 1 \cdot 8000} }}{{2 \cdot 1}} = \\ = \dfrac{{180 \pm \sqrt {32400 - 32000} }}{2} = \dfrac{{180 \pm \sqrt {400} }}{2} = \dfrac{{180 \pm 20}}{2}\\ \\ {x_{1,2}} = 90 \pm 10\\ \\ {x_1} = 100\\ {x_2} = 80 \end{array}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\begin{array}{l} {x_1} = 100{\rm{ }}\frac{{km}}{h}\\ {{\rm{x}}_2} = 80{\rm{ }}\frac{{km}}{h} \end{array}\)
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt als richtig gelöst, wenn beide Geschwindigkeitswerte korrekt angegeben wurden.