Aufgabe 1087
AHS - 1_087 & Lehrstoff: AG 2.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Grafische Lösung einer quadratischen Gleichung
Der Graph der Polynomfunktion f mit \(f\left( x \right) = {x^2} + px + q\) berührt die x-Achse. Welcher Zusammenhang besteht dann zwischen den Parametern p und q?
Aufgabenstellung
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht!
Es gibt in diesem Fall _____________1_________ mit der x-Achse, deshalb gilt ______________2_____________ .
1 | |
keinen Schnittpunkt | A |
einen Schnittpunkt | B |
zwei Schnittpunkte | C |
2 | |
\(\dfrac{{{p^2}}}{4} = q\) | I |
\(\dfrac{{{p^2}}}{4} < q\) | II |
\(\dfrac{{{p^2}}}{4} > q\) | III |
Lösungsweg
Damit der Graph der Polynomfunktion die x-Achse berührt, er also nur einen Schnittpunkt mit der x-Achse hat muss die Diskriminante D = 0 sein.
\(\eqalign{ & {x^2} + px + q = 0;\, \cr & {x_{1,2}} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {{{\left( {\dfrac{p}{2}} \right)}^2} - q\,\,\,\,} \cr & D = {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2} - q; \cr}\)
Wir können also schon an dieser Stelle sagen, dass wir nur „B“ untersuchen müssen, denn bei „A“ bzw „B“ gäbe es keinen bzw. zwei Schnittpunkte.
Untersuchen wir nun, was D = 0 für das Verhältnis von p und q bedeutet?
\(D = {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2} - q = 0 \Rightarrow \dfrac{{{p^2}}}{4} = q\)
Die Lösung lautet somit B + I
Es gibt in diesem Fall einen Schnittpunkt mit der x-Achse, deshalb gilt \(\dfrac{{{p^2}}}{4} = q\).
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Es gibt in diesem Fall einen Schnittpunkt mit der x-Achse, deshalb gilt \(\dfrac{{{p^2}}}{4} = q\).
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn für beide Lücken jeweils die zutreffende Antwortmöglichkeit „B“ und „I“ angekreuzt ist.