Aufgabe 1161
AHS - 1_161 & Lehrstoff: AG 2.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Quadratische Gleichungen
Quadratische Gleichungen können in der Menge der reellen Zahlen keine, genau eine oder zwei verschiedene Lösungen haben.
A | \({\left( {x + 4} \right)^2} = 0\) |
B | \({\left( {x - 4} \right)^2} = 25\) |
C | \(x \cdot \left( {x - 4} \right) = 0\) |
D | \( - {x^2} - 16 = 0\) |
E | \({x^2} - 16 = 0\) |
F | \({x^2} - 8x + 16 = 0\) |
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie jeder Lösungsmenge L die entsprechende quadratische Gleichung (aus A bis F) in der Menge der reellen Zahlen zu!
Deine Antwort | |
I: \(L = \left\{ {} \right\}\) | |
II: \(L = \left\{ { - 4;4} \right\}\) | |
III: \(L = \left\{ {0;4} \right\}\) | |
IV: \(L = \left\{ 4 \right\}\) |
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Wir werden auf möglichst einfache Art und Weise die jeweilige Lösungsmenge der quadratischen Gleichungen A..F ermitteln und sie den gegebenen Lösungsmengen I .. IV zuordnen. Grundsätzlich erwarten wir für eine quadratische Gleichung 2 Lösungen!
Lösungsweg
- Analysieren wir A: \({\left( {x + 4} \right)^2} = 0 \Rightarrow x = - 4\). Somit: \(L = \left\{ { - 4} \right\}\). Diese Lösungsmenge entspricht keine der angebotenen Optionen.
- Analysieren wir B: Wir erkennen, dass \({\left( {x - 4} \right)^2} = 25 \Rightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} = {5^2}\) Achtung: An dieser Stelle dürfen wir nicht auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel ziehen, sonst verlieren wir eine der beiden Lösungen der quadratischen Gleichung! Wir müssen uns vielmehr die Frage stellen: Wann ist das Quadrat von (x-4) gleich 25? Dafür gibt es eben 2 Möglichkeiten: x=9 und x=-1. Somit \(L = \left\{ { - 1,9} \right\}\). Diese Lösungsmenge entspricht keine der angebotenen Optionen.
- Analysieren wir C: \(x \cdot \left( {x - 4} \right) = 0\). Wir sehen sofort, dass es 2 Lösungen gibt: x=0 und x=4. Somit \(L = \left\{ {0,4} \right\}\). Diese Lösungsmenge entspricht der Lösungsoption III.
- Analysieren wir D: \( - {x^2} - 16 = 0 \Rightarrow {x^2} = - 16 \Rightarrow x\sqrt { - 16} = 4i\) Diese Lösung liegt im Bereich der komplexen Zahlen. Somit \(L = \left\{ {} \right\}\). Diese Lösungsmenge entspricht der Lösungsoption I .
- Analysieren wir E: \({x^2} - 16 = 0 \Rightarrow {x^2} = 16 \Rightarrow x = \sqrt {16} = \pm 4\) . Achtung: Immer daran denken, dass eine Wurzel 2 Lösungen hat! Somit \(L = \left\{ { - 4,4} \right\}\). Diese Lösungsmenge entspricht der Lösungsoption II.
- Analysieren wir F: \({x^2} - 8x + 16 = 0 \Rightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} = 0 \Rightarrow x = 4\). Somit \(L = \left\{ 4 \right\}\). Diese Lösungsmenge entspricht der Lösungsoption IV.
Die richtige Lösung lautet:
- C + III
- D + I
- E + II
- F + IV
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(L = \left\{ {} \right\}\) | D |
\(L = \left\{ { - 4;4} \right\}\) | E |
\(L = \left\{ {0;4} \right\}\) | C |
\(L = \left\{ 4 \right\}\) | F |
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn alle vier Buchstaben richtig zugeordnet sind.