Aufgabe 1055
AHS - 1_055 & Lehrstoff: AG 2.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Lösung einer quadratischen Gleichung
Gegeben ist die Gleichung \({\left( {x - 3} \right)^2} = a\)
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie jene Werte a ∈ ℝ, für die die gegebene Gleichung keine reelle Lösung hat!
Lösungsweg
Es liegt eine quadratische Gleichung vor. Wir werden zuerst die Variable x „explizit“ machen und dann analysieren, welche Werte „a“ annehmen darf, damit wir die gegebene Gleichung innerhalb der reellen Zahlen lösen können....
Wir machen also "x" explizit, dh wir machen Äquivalenzumformungen damit "x" alleine auf der linken Seite der Gleichung steht:
\(\begin{array}{l} {\left( {x - 3} \right)^2} = a\,\,\,\,\,\left| {\sqrt {} } \right.\\ x - 3 = \sqrt a \\ x = \sqrt a + 3 \end{array}\)
Wir untersuchen nun 3 Fälle:
- a > 0: Wenn a>0 ist, also irgendeine positive Zahl ist, dann kann die Wurzel gezogen werden und die Gleichung kann innerhalb der reellen Zahlen gelöst werden.
- a = 0: Wenn a=0 ist, dann ist \(\sqrt 0 = 0\) und x=3
- a < 0: Wenn a<0 ist, also irgendeine negative Zahl ist, dann kann die Wurzel nur in den komplexen Zahlen, nicht aber in den reellen Zahlen gezogen werden. D.h. Für alle a < 0 gibt es keine reelle Lösung.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Für alle a < 0 gibt es keine reelle Lösung.
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn alle Werte von a angegeben wurden. Die Angabe, dass a der Zahlenmenge ℝ- angehören muss, ist ebenfalls korrekt.