Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Gegeben ist die Funktion
\(h:x \mapsto \dfrac{3}{{{e^{x + 1}} - 1}}{\text{ mit }}{D_h} = \left] { - 1; + \infty } \right[\)
Abbildung 1 zeigt den Graphen Gh von h.
1. Teilaufgabe a.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } h\left( x \right) = 0\) gilt.
2. Teilaufgabe a.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Zeigen Sie rechnerisch für \(x \in {D_h}\) dass für die Ableitung h‘ von h gilt: \(h'\left( x \right) < 0\)
Gegeben ist ferner die in Dh definierte Integralfunktion
\({H_0} = x \mapsto \int\limits_0^x {h\left( t \right)} \,\,dt\).
3. Teilaufgabe b.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass folgende Aussagen wahr ist: Der Graph von H0 ist streng monoton steigend.
4. Teilaufgabe b.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass folgende Aussagen wahr ist: Der Graph von H0 ist rechts gekrümmt
5. Teilaufgabe c.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Geben Sie die Nullstelle von H0 an.
6. Teilaufgabe c.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie näherungsweise mithilfe der Abbildung die Funktionswerte H0 (-0,5) sowie H0 (3) .
7. Teilaufgabe c.3) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen von H0 im Bereich \( - 0,5 \leqslant x \leqslant 3\)