Aufgabe 1333
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2014 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Schnitt zweier Funktionen
Gegeben sind die beiden reellen Funktionen f und g mit den Gleichungen \(f\left( x \right) = {x^2}\) und \(g\left( x \right) = - {x^2} + 8\)
Aufgabenstellung:
Im nachstehenden Koordinatensystem sind die Graphen der beiden Funktionen f und g dargestellt. Schraffieren Sie jene Flache, deren Große A mit \(A = \int\limits_0^1 {g\left( x \right)\,\,dx - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} } \,\,dx\) berechnet werden kann!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
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Lösungsweg
Die Fläche, die zwischen 2 Funktionen liegt, ermittelt man, indem man die Fläche der "oberen" Funktion von der Fläche der "unteren" Funktion subtrahiert.
Die untere Grenze bei beiden bestimmten Integralen ist jeweils 0 und die obere Grenze bei beiden bestimmten Integralen ist 1.
Gemäß oben stehender Aufgabenanalyse können wir wie folgt einzeichnen:
- Die Fläche der oberen Funktion: \(A = \int\limits_0^1 {g\left( x \right)\,\,dx} \)
- Minus der Fläche der unteren Funktion: \(A = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)\,\,dx} \)
- ergibt die gesuchte Differenzfläche:
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Die Aufgabe gilt als richtig gelöst, wenn die gesuchte Fläche klar ersichtlich ist.