Am Tiefpunkt einer Funktion ist die 1. Ableitung der Funktion 0 und die 2. Ableitung größer als 0
Grafisches Differenzieren
Beim grafischen Differenzieren leitet man Aussagen über den Verlauf einer Funktion aus dem Verlauf ihrer 1. und 2. Ableitung ab, bzw. umgekehrt
f hat Extremstelle (HP oder TP) | f' hat NST | |
f hat Wendepunkt | f' hat Extremstelle (HP oder TP) | f'' hat NST |
f hat Sattelpunkt | f' hat HP oder TP auf x-Achse | f'' hat NST |
f steigt streng monoton | f' liegt oberhalb der x-Achse bzw. f' > 0 | |
f sinkt streng monoton | f' liegt unterhalb der x-Achse bzw. f' < 0 | |
f ist linksgekrümmt, positiv gekrümmt bzw. konvex | f' ist steigend | f'' > 0 |
f ist rechtsgekrümmt, negativ gekrümmt bzw. konkav | f' ist fallend | f'' < 0 |
Merkhilfe: NEW-Regel
N = Nullstelle; E=Extremstelle (HP, TP); W=Wendestelle
F(x) | f(x) | N | E | W | ||
f(x) | f'(x) | N | E | W | ||
f'(x) | f''(x) | N | E | W |
Zusammenhänge zwischen der Funktion, ihrer ersten und ihrer zweiten Ableitung beim grafisches Differenzieren
Funktion f(x) | Ableitung f‘(x) | Ableitung f"(x) |
f hat eineExtremstelle |
f‘ hat eine Nullstelle | keine Aussage möglich |
f hat einen Wendepunkt und die Krümmung ändert sich von positiv \(\cup\) auf negativ \(\cap\). |
f‘ hat einen Extremwert: Hochpunkt | f" hat eine Nullstelle |
f hat einen Wendepunktund die Krümmung ändert sich von negativ \(\cap\) auf positiv \(\cup\). |
f‘ hat einen Extremwert: Tiefpunkt | f" hat eine Nullstelle |
f hat einen Sattelpunkt und die Krümmung ändert sich von positiv \(\cup\) auf negativ \(\cap\). |
f‘ hat einen Hochpunkt der auf der x-Achse liegt d.h. der auch Nullstelle ist | f‘‘ hat eine Nullstelle |
f hat einen Sattelpunkt und die Krümmung ändert sich von negativ \(\cap\) auf positiv \(\cup\). |
f‘ hat einen Tiefpunkt der auf der x-Achse liegt d.h. der auch Nullstelle ist |
f‘‘ hat eine Nullstelle |
f steigt streng monoton an d.h. k>0 | f‘ liegt oberhalb der x-Achse | |
f sinkt streng monoton d.h. k<0 | f‘ liegt unterhalb der x-Achse | |
f ist symmetrisch zur y-Achse d.h. f ist eine gerade Funktion |
f‘ ist punktsymmetrisch zum Ursprung d.h. f‘ ist eine ungerade Funktion | f‘‘ ist symmetrisch zur y-Achse, d.h. f‘‘ ist eine gerade Funktion |
f ist punktsymmetrisch zum Ursprung d.h. f ist eine ungerade Funktion | f‘ ist symmetrisch zur y-Achse d.h. f‘ ist eine gerade Funktion | f‘‘ ist punktsymmetrisch zum Ursprung d.h. f‘‘ ist eine ungerade Funktion |
Die Steigung k der Tangente … | … ist der Funktionswert der Ableitung | |
Die Steigung k der Tangente … | … ist der Funktionswert der Ableitung |
Zusammenhang zwischen höheren Ableitungen
Je mehr Ableitungen man von einer Funktion kennt, um so genauere Aussagen kann man über den Verlauf vom Graph der Funktion machen
\(f\left( {{x_0}} \right) = 0\) | ⇒ | f(x) hat eine Nullstelle an der Stelle x0 |
\(f'\left( {{x_0}} \right) > 0\) | ⇒ | f(x0) ist streng monoton wachsend |
\(f'\left( {{x_0}} \right) < 0\) | ⇒ | f(x0) ist streng monoton fallend |
\(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) | ⇒ | f(x0) hat eine waagrechte Tangente an der Stelle x0 |
\(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) | ⇒ | f(x0) hat Tiefpunkt / lokales Minimum an der Stelle x0 |
\(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) | ⇒ | f(x0) hat Hochpunkt / lokales Maximum an der Stelle x0 |
\(f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) | ⇒ | f(x0) ist links / positiv / konkav gekrümmt |
\(f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) | ⇒ | f(x0) ist rechts / negativ / konvex gekrümmt |
\(f''\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f'''\left( {{x_0}} \right) \ne 0\) | ⇒ | f(x0) hat einen Wendepunkt (Graph ändert sein Krümmungsverhalten) an der Stelle x0; Der WP ist jener Punkt, an dem f(x) die stärkste Steigung hat. |
\(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f'''\left( {{x_0}} \right) \ne 0\) | ⇒ | f(x0) hat einen Sattelpunkt (=Wendepunkt mit waagrechter Tangente) an der Stelle x0 |
Graph mit Hochpunkt
Graph mit Tiefpunkt
Graph mit Wendepunkt
Graph mit Sattelpunkt