Aufgabe 1725
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2019 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Eigenschaften einer Polynomfunktion dritten Grades
Gegeben ist eine Polynomfunktion f dritten Grades. An den beiden Stellen x1 und x2 mit x1 < x2 gelten folgende Bedingungen:
\(\eqalign{
& f'\left( {{x_1}} \right){\text{ = 0 und }}f''\left( {{x_1}} \right) < 0 \cr
& f'\left( {{x_2}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_2}} \right) > 0 \cr} \)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die für die Funktion f auf jeden Fall zutreffen.
- Aussage 1: \(f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\)
- Aussage 2: Es gibt eine weitere Stelle x3 mit \(f'\left( {{x_3}} \right) = 0\)
- Aussage 3: Im Intervall \(\left[ {{x_1},{x_2}} \right]\) gibt es eine Stelle x3 mit \(f\left( {{x_3}} \right) > f\left( {{x_1}} \right)\)
- Aussage 4: Im Intervall \(\left[ {{x_1},{x_2}} \right]\) gibt es eine Stelle x3 mit \(f''\left( {{x_3}} \right) = 0\)
- Aussage 5: Im Intervall \(\left[ {{x_1},{x_2}} \right]\) gibt es eine Stelle x3 mit \(f'\left( {{x_3}} \right) > 0\)
[0 / 1 Punkt]
Lösungsweg
Eine Polynomfunktion 3. Grades hat charakteristischer Weise einen s-förmigen Verlauf. Aus den beiden Bedingungen können wir entnehmen, dass sich an der Stelle x1 ein Hochpunkt und an der Stelle x2 ein Tiefpunkt befindet.
\(\eqalign{
& f'\left( {{x_1}} \right){\text{ = 0 und }}f''\left( {{x_1}} \right) < 0 \to {\text{Hochpunkt}} \cr
& f'\left( {{x_2}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_2}} \right) > 0 \to {\text{Tiefpunkt}} \cr} \)
Mit diesem Wissen ausgestattet, machen wir eine einfache Skizze der Funktion, etwa wie folgt:
- Aussage 1: Richtig, weil an der Stelle x1 ein Hochpunkt und an der Stelle x2 ein Tiefpunkt vorliegt, muss für die zugehörigen Funktionswerte \(f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\) gelten
- Aussage 2: Falsch, weil es bei einer Funktion 3. Grades im Intervall zwischen einem Hochpunkt und einem Tiefpunkt keinen Punkt mit einer horizontalen Tangente geben kann.
- Aussage 3: Falsch, weil es bei einer Funktion 3. Grades im Intervall zwischen einem Hochpunkt und einem Tiefpunkt einen weiteren Hochpunkt geben kann
- Aussage 4: Richtig, weil es zwischen einem Hochpunkt mit Rechtskrümmung und einen Tiefpunkt mit Linkskrümmung einen Wendepunkt geben muss.
- Aussage 5: Falsch, weil es zwischen einem Hochpunkt und einen Tiefpunkt nur fallende Tangenten an den Graph der gegebenen Polynomfunktion geben kann. \(f'\left( {{x_3}} \right) > 0\) würde aber einer steigenden Tangente entsprechen.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Aussagen angekreuzt sind.