Aufgabe 1096
AHS - 1_096 & Lehrstoff: AN 4.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Begrenzung einer Fläche
Der Inhalt derjenigen Fläche, die vom Graphen der Funktion \(f:x \to {x^2}\) , der positiven x-Achse und der Geraden mit der Gleichung x = a (a ∈ ℝ) eingeschlossen wird, beträgt 72 Flächeneinheiten.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie den Wert a!
Lösungsweg
Wir fertigen folgende Illustration zur Veranschaulichung des Sachverhalts an:
Gesucht ist also das bestimmte Integral der gegebenen Funktion f(x) zwischen den Grenzen o und a, sodass der zwischen der Funktion und der Geraden bzw. der x-Achse eingeschlossene Flächeninhalt 72 ergibt.
\(\begin{array}{l} 72 = \int\limits_0^a {{x^2}\,\,dx = \dfrac{{{x^{2 + 1}}}}{3}} \,\,\,\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a\\ 0 \end{array} = \dfrac{{{a^3}}}{3} - 0 = \dfrac{{{a^3}}}{3}} \right.\\ 72 = \dfrac{{{a^3}}}{3}\,\,\,\left| { \cdot 3} \right.\\ 216 = {a^3}\,\,\,\left| {\sqrt[3]{{}}} \right.\\ a = 6 \end{array}\)
Für die obere Integrationsgrenze errechnet sich: a=6
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
a=6
Lösungsschlüssel:
Ein Rechenweg muss erkennbar sein. Die Aufgabe ist als richtig zu werten, wenn der Ansatz \(72 = \int\limits_0^a {{x^2}\,\,dx} \)korrekt ist und richtig integriert wurde.