Aufgabe 104
Verbindungsvektor
Es sind folgende 2 Punkte gegeben:
\(P\left( {\matrix{ {15} \cr { - 2} \cr 2 \cr } } \right);\,\,\,\,\,Q\left( {\matrix{ 3 \cr 2 \cr 5 \cr } } \right);\)
1. Teilaufgabe: Berechne die Koordinaten des Verbindungsvektors: \(\overrightarrow v = \overrightarrow {PQ}\)
2. Teilaufgabe: Berechne den Betrag des Verbindungsvektors: \(\left| {\overrightarrow v } \right|\)
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Berechne die Koordinaten des Verbindungsvektors \(\left| {\overrightarrow v } \right|\)
Gemäß der "Spitze minus Schaft Regel" gilt:
\(\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow v = Q - P = \left( {\matrix{ {{Q_x} - {P_x}} \cr {{Q_y} - {P_y}} \cr {{Q_z} - {P_z}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {{v_x}} \cr {{v_y}} \cr {{v_z}} \cr } } \right)\)
\(\eqalign{ & \overrightarrow v = \overrightarrow {PQ} = Q - P = \left( {\matrix{ {3 - 15} \cr {2 - ( - 2)} \cr {5 - 2} \cr } } \right) \cr & \overrightarrow v = \left( \matrix{ - 12 \hfill \cr 4 \hfill \cr 3 \hfill \cr} \right) \cr}\)
2. Teilaufgabe:
Berechne den Betrag des Verbindungsvektors: \(\left| {\overrightarrow v } \right|\)
Gemäß der Formel zum "Betrag bzw. zur Länge eines Vektors" gilt:
\(\overrightarrow {PQ} = \left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {{{\left( {{Q_x} - {P_x}} \right)}^2} + {{\left( {{Q_y} - {P_y}} \right)}^2} + {{\left( {{Q_z} - {P_z}} \right)}^2}} = \sqrt {{v_x}^2 + {v_y}^2 + {v_z}^2} ;\)
\(\left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {{{\left( { - 12} \right)}^2} + {4^2} + {3^3}} = 13\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Für die 1. Teilaufgabe: \(\overrightarrow v = \left( \matrix{ - 12 \hfill \cr 4 \hfill \cr 3 \hfill \cr} \right)\)
- Für die 2. Teilaufgabe: \(\left| {\overrightarrow v } \right| = 13;\)
Lösungsschlüssel:
Für jede der 2 Teilaufgaben ist dann ein Punkt zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der jeweils korrekten Lösung der Teilaufgabe übereinstimmt