Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Geometrie
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte \(A\left( {6\left| {3\left| 3 \right.} \right.} \right),\,\,B\left( {3\left| {6\left| 3 \right.} \right.} \right){\text{ und C}}\left( {3\left| {3\left| 6 \right.} \right.} \right)\) das gleichseitige Dreieck ABC fest.
1. Teilaufgabe a) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E, in der das Dreieck ABC liegt, in Normalenform.
mögliches Ergebnis: \(E:{x_1} + {x_2} + {x_3} - 12 = 0\)
Spiegelt man die Punkte A, B und C am Symmetriezentrum \(Z\left( {3\left| {3\left| 3 \right.} \right.} \right)\) o erhält man die Punkte A‘ , B‘ bzw. C‘ .
2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Beschreiben Sie die Lage der Ebene, in der die Punkte A, B und Z liegen, im Koordinatensystem. Zeigen Sie, dass die Strecke \(\left[ {CC'} \right]\) senkrecht auf dieser Ebene steht.
3. Teilaufgabe c) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Begründen Sie, dass das Viereck ABA‘B‘ ein Quadrat mit der Seitenlänge \(3 \cdot \sqrt 2 \) ist.
Der Körper ABA‘B’CC‘ ist ein sogenanntes Oktaeder. Er besteht aus zwei Pyramiden mit dem Quadrat ABA’B‘ als gemeinsamer Grundfläche und den Pyramidenspitzen C bzw. C‘ .
4. Teilaufgabe d) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Weisen Sie nach, dass das Oktaeder das Volumen 36 besitzt.
5. Teilaufgabe e) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Bestimmen Sie die Größe des Winkels zwischen den Seitenflächen ABC und AC‘B.
6. Teilaufgabe f) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Alle Eckpunkte des Oktaeders liegen auf einer Kugel. Geben Sie eine Gleichung dieser Kugel an. Berechnen Sie den Anteil des Oktaedervolumens am Kugelvolumen.