Aufgabe 223
Kosten- und Preistheorie
Anwendung aus der Wirtschaft: Für die Produktion eines Wirtschaftsguts ist die Kostenfunktion wie folgt gegeben
\(K\left( x \right) = {x^3} - 30{x^2} + 400x + 512\)
- 1. Teilaufgabe: Berechne die Fixkosten K(0) in Euro
- 2. Teilaufgabe: Berechne die Stückkosten
- 3. Teilaufgabe: Berechne das langfristige Betriebsoptimum
- 4. Teilaufgabe: Berechne die gesamten Produktionskosten beim langfristigen Betriebsoptimum
- 5. Teilaufgabe: Wie viel kostet durchschnittlich ein Stück im langfristigen Betriebsoptimum?
- 6. Teilaufgabe: Berechne die Stückkosten im langfristigen Betriebsoptimum
- 7. Teilaufgabe: Berechne die Grenzkosten im langfristigen Betriebsoptimum
- 8. Teilaufgabe: Wie stark steigen die Kosten, wenn ein zusätzliches Stück über das langfristige Betriebsoptimum hinaus produziert wird?
- 9. Teilaufgabe: Berechne die gesamten Produktionskosten , wenn (Betriebsoptimum + 1 Stück) erzeugt werden
- 10. Teilaufgabe: Berechne das kurzfristige Betriebsoptimum, wenn man also auf die Deckung der Fixkosten verzichtet
- 11. Teilaufgabe: Wie viel kostet ein Stück im kurzfristigen Betriebsoptimum, wenn man auf die Deckung der Fixkosten verzichtet?
Lösungsweg
Der Fixkostenanteil gibt an, wie hoch die Vorlaufkosten sind, ehe man das 1. Stk. produziert hat.
1. Teilaufgabe:
Berechne die Fixkosten K(0) in Euro
\(K\left( x \right) = {x^3} - 30{x^2} + 400x + 512\)
Fixkosten = K(0)
\(K\left( 0 \right) = {0^3} - 30 \cdot {0^2} + 400 \cdot 0 + 512 = 512\)
Die Fixkosten betragen 512 €.
2. Teilaufgabe:
Berechne die Stückkosten
\(k\left( x \right) = \dfrac{{K\left( x \right)}}{x}\)
\(\eqalign{ & k\left( x \right) = \dfrac{{{x^3} - 30{x^2} + 400x + 512}}{x} = \cr & = {x^2} - 30x + 400 + \frac{{512}}{x} \cr} \)
Das Betriebsoptimum liegt dort, wo man zu minimalen totalen Durchschnittskosten (Fixkosten + variable Kosten) produziert und stellt die langfristige Preisuntergrenze dar.
3. Teilaufgabe:
Berechne das langfristige Betriebsoptimum
\(k'\left( {{x_0}} \right) = 0\)
\(\eqalign{ & k\left( x \right) = {x^2} - 30x + 400 + 512{x^{ - 1}} \cr & k'\left( x \right) = 2x - 30 + 0 - 512{x^{ - 2}} \cr} \)
Wir ermitteln als nächstes die Nullstellen:
\(\eqalign{ & 2x - 30 - 512{x^{ - 2}} = 0\,\,\,\,\,\left| { \cdot {x^2}} \right. \cr & 2{x^3} - 30{x^2} - 512 = 0 \cr} \)
Es liegt eine Gleichung 3. Grades vor, die 3 Lösungen hat. Wir lösen die Gleichung mittels Newton-Verfahren oder mit Hilfe des Taschenrechners, Geogebra oder Wolfram Alpha
... und erhalten folgende 3 Lösungen...
\(\eqalign{ & {x_1} = 16 \cr & {x_{2,3}} = 2 \cr}\)
Jetzt müssen wir noch mit Hilfe der 2. Ableitung überprüfen, ob es sich tatsächlich um ein Minimum und nicht etwa um ein Maximum handelt.
\(k''\left( x \right) > 0\)
\(\eqalign{ & k'\left( x \right) = 2x - 30 - 512{x^{ - 2}} \cr & k''\left( x \right) = 2 - 0 - \left( { - 2} \right) \cdot {512^{ - 3}} = \cr & = 2 + \dfrac{{1024}}{{{x^3}}} \cr} \)
Wir setzen ein: x=16, gemäß der 1. Nullstelle:
\(k''\left( {16} \right) = 2 + \dfrac{{1024}}{{{{16}^3}}} = 2,25 > 0\,\,\,{\text{wzbw}}\)
Die 2. Ableitung der Stückkosten-Funktion ist bei 16 produzierten Stück > 0.
Das Betriebsoptimum liegt somit bei 16 erzeugten Einheiten.
4. Teilaufgabe:
Berechne die gesamten Produktionskosten beim langfristigen Betriebsoptimum
Die gesamten Produktionskosten im Betriebsoptimum, also bei 16 produzierten Stück, betragen 3.328 €
5. Teilaufgabe:
Durchschnittliche Stückkosten im langfristigen Betriebsoptimum
\(\begin{array}{l} K\left( {16} \right) = 3328\mbox{€} \\ \dfrac{{3328\mbox{€} }}{{16}} = 208 \mbox{€} \end{array}\)
Jedes der 16 Stück kostet in der Herstellung durchschnittlich 208 €.
6. Teilaufgabe:
Stückkosten im langfristigen Betriebsoptimum
\(\begin{array}{l} k\left( x \right) = {x^2} - 30x + 400 + 512{x^{ - 1}}\\ k\left( {16} \right) = {16^2} - 30 \cdot 16 + 400 + \dfrac{{512}}{{16}} = 208\mbox{€} \end{array}\)
7. Teilaufgabe:
Grenzkosten im langfristigen Betriebsoptimum
\(\begin{array}{l} K\left( x \right) = {x^3} - 30{x^2} + 400x + 512\\ K'\left( x \right) = 3{x^2} - 2 \cdot 30x + 400\\ K'\left( {16} \right) = 3 \cdot {16^2} - 60 \cdot 16 + 400 = 768 - 960 + 400 = 208\mbox{€} \end{array}\)
Wenn man 16 Stück fertigt, kostet jede (unendlich kleine Zusatzmenge) in der Herstellung 208 €.
8. Teilaufgabe:
Wie stark steigen die Kosten, wenn ein zusätzliches Stück über das langfristige Betriebsoptimum hinaus produziert wird?
Differenzenquotient: \(\dfrac{{\Delta K}}{{\Delta x}} = \dfrac{{K\left( {{x_o}} \right) - K\left( {{x_u}} \right)}}{{{x_o} - {x_u}}}\)
\(\dfrac{{\Delta k}}{{\Delta x}} = \dfrac{{k\left( {17} \right) - k\left( {16} \right)}}{{17 - 16}}\)
Nebenrechnungen:
\(\begin{array}{l} k\left( x \right) = \dfrac{{{x^3} - 30{x^2} + 400x + 512}}{x}\\ k\left( {17} \right) = \dfrac{{{{17}^3} - 30 \cdot {{17}^2} + 400 \cdot 17 + 512}}{{17}} = 209,12\mbox{€} \\ k\left( {16} \right) = \dfrac{{{{16}^3} - 30 - {{16}^2} + 400 \cdot 16 + 512}}{{16}} = 208\mbox{€} \end{array}\)
wir setzen ein:
\(\dfrac{{\Delta k}}{{\Delta x}} = \dfrac{{k\left( {17} \right) - k\left( {16} \right)}}{{17 - 16}} = \dfrac{{209,12 - 208}}{1} = 1,118\mbox{€}\)
Die Kosten pro Stück steigen um 1,12 €, wenn statt der optimalen 16 Stück nunmehr 17 Stück produziert werden.
9. Teilaufgabe:
Berechne die gesamten Produktionskosten , wenn (Betriebsoptimum + 1 Stück) erzeugt werden
\(\begin{array}{l} K\left( x \right) = {x^3} - 30{x^2} + 400x + 512\\ K\left( {17} \right) = {17^3} - 30 \cdot {17^2} + 400 \cdot 17 + 512 = 3555\mbox{€} \end{array}\)
Die Produktionskosten für 17 Stück betragen 3555 €.
Das Betriebsminimum liegt dort, wo man zu minimalen variablen Durchschnittskosten (ohne Fixkosten, nur variable Kosten) produziert und stellt die kurzfristige Preisuntergrenze dar.
10. Teilaufgabe:
Berechne das kurzfristige Betriebsoptimum, wenn man also auf die Deckung der Fixkosten verzichtet.
variable Kosten:
\(K\left( x \right) = {x^3} - 30{x^2} + 400x\)
variable Stückkosten:
\(k\left( x \right) = \dfrac{{K\left( x \right)}}{x}\)
\(\begin{array}{l} k\left( x \right) = {x^2} - 30x + 400\\ k'\left( x \right) = 2x - 30 \end{array}\)
Minimum=?
\(\begin{array}{l} 2x - 30 = 0\\ 2x = 30\\ x = 15 \end{array}\)
Prüfen, ob wirklich ein Minimum vorliegt
\(k''\left( x \right) = 2 > 0{\text{ wzbw}}{\text{.}}\)
Das kurzfristige Betriebsoptimum, also ohne Berücksichtigung der Fixkosten, liegt bei 15 erzeugten Einheiten.
11. Teilaufgabe:
Wie viel kostet ein Stück im kurzfristigen Betriebsoptimum, wenn man auf die Deckung der Fixkosten verzichtet?
\(\eqalign{ & k\left( x \right) = {x^2} - 30x + 400 \cr & k\left( {15} \right) = {15^2} - 30 \cdot 15 + 400 = 175\mbox{€} \cr} \)
Jedes der 15 Stück kostet in der Herstellung ohne Berücksichtigung der Fixkosten durchschnittlich 175 €.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Für die 1. Teilaufgabe: K(0)=512 €
- Für die 2. Teilaufgabe: \(k\left( x \right) = {x^2} - 30x + 400 + 512{x^{ - 1}}\)
- Für die 3. Teilaufgabe: \({x_1} = 16\)
- Für die 4. Teilaufgabe: K(B-Opti)=3.328 €
- Für die 5. Teilaufgabe: Durchschnittliche Stk. Kosten = 208 €
- Für die 6. Teilaufgabe: Stk.-Kosten=208 €
- Für die 7. Teilaufgabe: Grenzkosten(B.-Opt.)=208 €
- Für die 8. Teilaufgabe: Kostensteigerung=1,12 €
- Für die 9. Teilaufgabe: K(B-Opti+1)=3.555 €
- Für die 10. Teilaufgabe: \({x_{k - Opt.}} = 15\)
- Für die 11. Teilaufgabe: Durch-Stk.-Kosten=175 €
Lösungsschlüssel:
Für jede der 11 Teilaufgaben ist dann ein Punkt zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der jeweils korrekten Lösung der Teilaufgabe übereinstimmt