Aufgabe 219
Faktorisieren durch Herausheben
Löse die Gleichung durch „teilweises Herausheben“
\(4{x^3} - 8{x^2} + x - 2 = 0\)
Schreibe sowohl die faktorisierte Gleichung als auch deren Lösungen an.
Lösungsweg
Enthalten alle Summanden eines Summen- oder Differenzenterms einen gemeinsamen Faktor, so kann man diesen herausheben. Beim Faktorisieren wird eine Summe in ein Produkt umgewandelt. Dadurch kann man zB Nullstellen leichter erkennen.
\(a \cdot b \pm a \cdot c = a \cdot \left( {b \pm c} \right)\)
„Teilweises Herausheben“ funktioniert nur in jenen (seltenen) Spezialfällen, wo man wie folgt vorgehen kann – beachte die „runden Klammern“:
\(4{x^3} - 8{x^2} + \left( {x - 2} \right) = \)
An dieser Stelle „faktorisieren“ wir, dh wir heben aus der Teil-Summe \(4{x^3} - 8{x^2}\) heraus:
\(= 4{x^2} \cdot \left( {x - 2} \right) + \left( {x - 2} \right) =\)
Nun können wir erneut „faktorisieren, indem wir aus der Summe \(\left[ {4{x^2} \cdot \left( {x - 2} \right)} \right] + \left[ {\left( {x - 2} \right)} \right]\)den Faktor \(\left( {x - 2} \right)\) herausheben:
\(= \left( {x - 2} \right) \cdot \left[ {4{x^2} + 1} \right]\)
Jetzt sieht man die erste Lösung / NST sofort in der runden Klammer: x=2.
Die beiden weiteren Lösungen für den Ausdruck in der eckigem Klammer kann man einfach ermitteln:
\(\begin{array}{l} 4{x^2} + 1 = 0\\ 4{x^2} = - 1\\ {x^2} = - \dfrac{1}{4}\\ x = \sqrt { - \dfrac{1}{4}} \\ {x_{1,2}} = \pm \dfrac{i}{2} \end{array}\)
Somit kennen wir auch die beiden verbliebenen Lösungen: +i/2 bzw. –i/2, womit wir vollständig faktorisieren können:
\(\begin{array}{l} 4{x^3} - 8{x^2} + x - 2 = \left( {x - 2} \right) \cdot \left( {4{x^2} + 0{x^1} + 1} \right) = \\ = \left( {x - 2} \right) \cdot \left( {x - \dfrac{i}{2}} \right) \cdot \left( {x + \dfrac{i}{2}} \right) \end{array}\)
Die richtigen Lösungen lautet somit:
\({x_1} = 2;\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_{2,3}} = \pm \dfrac{i}{2}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet somit:
\(\left( {x - 2} \right) \cdot \left( {x - \dfrac{i}{2}} \right) \cdot \left( {x + \dfrac{i}{2}} \right)\)
\({x_1} = 2;\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_{2,3}} = \pm \dfrac{i}{2}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn unter Verwendung der 3 Nullstellen die Gleichung korrekt faktorisiert wurde.