Aufgabe 66
Welche 3 Lösungsfälle können bei quadratischen Gleichungen auftreten? Unterscheide an Hand der Diskriminante!
Lösungsweg
Es soll die Bedeutung der Diskriminante für die Lösungen einer quadratischen Gleichung herausgearbeitet werden.
Für die quadratische Gleichung gilt:
Gemäß der Formel für die "Rechnerische Lösung einer allgemeinen quadratischen Gleichung mittels abc Formel („Mitternachtsformel“)" gilt:
\(\eqalign{ & a{x^2} + bx + c = 0\,\,\,\,\,\,\,a,b,c \in {\Bbb R}\,\,\,\,\,a \ne 0 \cr & {x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} \cr & D = {b^2} - 4ac \cr}\)
Für die normierte quadratische Gleichung gilt:
Gemäß der Formel für die "Rechnerische Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform mittels pq Formel" gilt:
\(\eqalign{ & {x^2} + px + q = 0\,\,\,\,\,\,\,p,q\, \in \,{\Bbb R} \cr & {x_{1,2}} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {{{\left( {\dfrac{p}{2}} \right)}^2} - q} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt D \cr & D = {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2} - q \cr}\)
Die Unterscheidung an Hand der Diskriminante
- 1. Fall: D>0 ⇒ 2 Lösungen in R
- 2. Fall: D=0 ⇒ 1 Lösung in R
- 3. Fall: D<0 ⇒ keine Lösung in R, denn der Wert unter der Wurzel wird negativ
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- 1. Fall: D>0 ⇒ 2 Lösungen in R
- 2. Fall: D=0 ⇒ 1 Lösung in R
- 3. Fall: D<0 ⇒ keine Lösung in R, denn der Wert unter der Wurzel wird negativ
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.