Aufgabe 77
Quadratische Gleichung mit einer Variablen
Gegeben sei folgende quadratische Gleichung:
\(2{x^2} + bx + 18 = 0\)
Für welche b in \({\Bbb R}\) hat diese Gleichung genau eine Lösung?
Lösungsweg
Mit Hilfe der Diskriminante wird jener Faktor b des linearen Glieds gesucht, bei dem die quadratischen Gleichung genau eine (Doppel-)Lösung hat. Beachte: Gesucht ist der Wert von "b" nicht das zugehörige x.
\(2{x^2} + bx + 18 = 0\)
Gemäß der Formel für die "Rechnerische Lösung einer allgemeinen quadratischen Gleichung mittels abc Formel („Mitternachtsformel“)" gilt:
\(\eqalign{ & a{x^2} + bx + c = 0\,\,\,\,\,\,\,a,b,c \in {\Bbb R}\,\,\,\,\,a \ne 0 \cr & {x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} \cr & D = {b^2} - 4ac \cr}\)
An der Stelle D=0 hat die Gleichung genau jene (Doppel-)Lösung, die wir suchen:
\(D = {b^2} - 4ac = 0\)
wobei: a=2; c=18;
\(\eqalign{ & D = {b^2} - 4.2.18 = 0 \cr & {b^2} - 144 = 0\,\,\,\,\,\left| { + 144} \right. \cr & {b^2} = 144\,\,\,\,\,\left| {\sqrt {} } \right. \cr & {b_{1,2}} = \pm 12 \cr}\)
- Für b= +12 hat die Gleichung genau eine (Doppel-) Lösung (und zwar: x= -3, das ist aber gar nicht gefragt und nur der Vollständigkeit halber angegeben)
- Für b= -12 hat die Gleichung genau eine (Doppel-) Lösung (und zwar: x= +3, das ist aber gar nicht gefragt und nur der Vollständigkeit halber angegeben)
Der Graph der Funktion:
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\({b_{1,2}} = \pm 12\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.