Aufgabe 80
Darstellungsformen komplexer Zahlen
Stelle die komplexe Zahl z in weiteren 3 Darstellungsformen dar.
\(z = 1,5 + 1,5i\)
1. Teilaufgabe: Als Zahlenpaar
2. Teilaufgabe: In der Exponentialform
3. Teilaufgabe: In der Polarform
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Es ist die kartesische Darstellung (=Binomialform) einer komplexen Zahl gegeben.
Umrechnung auf ein Zahlenpaar
\(z = 1,5 + 1,5i\)
Gemäß der Formel für die "Umrechnung von komplexen Zahlen in kartesische, trigonometrische und exponentielle bzw. Euler‘sche Darstellung" gilt:
\(z = (a\left| b \right.)\)
\(z = (1,5\left| {1,5} \right.)\)
2. Teilaufgabe:
Es ist die kartesische Darstellung (=Binomialform) einer komplexen Zahl gegeben.
Umrechnung in die Exponentialform
\(z = 1,5 + 1,5i\)
Gemäß der Formel für die "Umrechnung von komplexen Zahlen in kartesische, trigonometrische und exponentielle bzw. Euler‘sche Darstellung" gilt:
\(z = r{e^{i\varphi }};\,\,\,\,\,\,\,\,r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;\,\,\,\,\,\,\,\,\tan \varphi = \dfrac{b}{a};\)
\(\eqalign{ & a = 1,5;\,\,\,\,\,b = 1,5; \cr & r = \sqrt {{{1,5}^2} + {{1,5}^2}} = \sqrt {2,25 + 2,25} = \sqrt {4,5} ; \cr & \tan \varphi = \dfrac{b}{a} = \dfrac{{1,5}}{{1,5}} = 1;\,\,\,\, \Rightarrow \,\varphi = \arctan \varphi = 45^\circ ; \cr & z = \sqrt {4,5\,\,} .{e^{i45^\circ }} \cr}\)
3. Teilaufgabe:
Es ist die kartesische Darstellung (=Binomialform) einer komplexen Zahl gegeben.
Umrechnung in die Polarform
\(z = 1,5 + 1,5i\)
Gemäß der Formel für die "Umrechnung von komplexen Zahlen in kartesische, trigonometrische und exponentielle bzw. Euler‘sche Darstellung" gilt:
\(r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;\,\,\,\,\,\tan \varphi = \dfrac{b}{a};\)
\(\eqalign{ & a = 1,5;\,\,\,\,\,b = 1,5; \cr & r = \sqrt {{{1,5}^2} + {{1,5}^2}} = \sqrt {2,25 + 2,25} = \sqrt {4,5} ; \cr & \tan \varphi = \dfrac{b}{a} = \dfrac{{1,5}}{{1,5}} = 1;\, \Rightarrow \,\varphi = \arctan \,1 = 45^\circ ; \cr & z = \sqrt {4,5} .(\cos 45 + i.\sin 45) \cr}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet
- Für die 1. Teilaufgabe: \(z = (1,5\left| {1,5} \right.)\)
- Für die 2. Teilaufgabe: \(z = \sqrt {4,5} \cdot {e^{i45^\circ }}\)
- Für die 3. Teilaufgabe: \(z = \sqrt {4,5} (\cos 45 + i \cdot \sin 45)\)
Lösungsschlüssel:
Für jede der 3 Teilaufgaben ist dann ein Punkt zu geben, wenn die gewählte Lösung für diese Teilaufgabe sowohl in Real- und Imaginärteil mit der korrekten Lösung übereinstimmt.