Aufgabe 14
Multiplikation komplexer Zahlen
Berechne:
\(\eqalign{ & w = {z_1} \cdot {z_2} \cr & {z_1} = 3\dfrac{3}{4} + 1\dfrac{1}{2}i \cr & {z_2} = 4\dfrac{1}{4} - 2\dfrac{1}{4}i \cr}\)
Lösungsweg
Es sind 2 komplexe Zahlen in der Binomialdarstellung zu multiplizieren.
\(\eqalign{ & w = (3\dfrac{3}{4} + 1\dfrac{1}{2}i) \cdot (4\dfrac{1}{4} + 2\dfrac{1}{4}i) = \cr & = (\dfrac{{15}}{4} + \dfrac{3}{2}i) \cdot (\dfrac{{17}}{4} - \dfrac{9}{4}i) = \cr}\)
Umwandeln in (unechte) Brüche
\(= (\dfrac{{30}}{8} + \dfrac{{12}}{8}i) \cdot (\dfrac{{34}}{8} - \dfrac{{18}}{8}i) =\)
Ausmultiplizieren
\(= \dfrac{{1020}}{{64}} - \dfrac{{540}}{{64}}i + \dfrac{{408}}{{64}}i - \dfrac{{216}}{{64}}{i^2} =\)
Gemäß der Formel für die "Definition der imaginären Einheit i" gilt:
\({i^2} = - 1\)
\(= \dfrac{{1020}}{{64}} - \dfrac{{132}}{8}i + \dfrac{{216}}{{64}} =\)
Realteile zusammenfassen
\(\eqalign{ & = \dfrac{{1236}}{{64}} - \dfrac{{132}}{{64}}i \cr & w = \dfrac{{309}}{{16}} - \dfrac{{33}}{{16}}i \cr}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(w = \dfrac{{309}}{{16}} - \dfrac{{33}}{{16}}i\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung sowohl in Real- und Imaginärteil mit der korrekten Lösung übereinstimmt.