Aufgabe 16
Multiplikation komplexer Zahlen
Berechne:
\(\begin{array}{l}
w = {z_1} \cdot {z_2}\\
{z_1} = (v - 3 \cdot \sqrt 3 \,\,i)\\
{z_2} = (v + 3 \cdot \sqrt 3 \,\,i)
\end{array}\)
Lösungsweg
Es sind 2 komplexe Zahlen in der Binomialdarstellung zu multiplizieren. Die beiden Zahlen sind zu einander konjugiert komplex.
\(w = (v - 3\sqrt 3 i) \cdot (v + 3\sqrt 3 i) =\)
Ausmultiplizieren
\(\eqalign{ & = {v^2} + v3\sqrt 3 i - v3\sqrt 3 i - 3\sqrt 3 \cdot 3\sqrt 3 {i^2} = \cr & = {v^2} - 9 \cdot 3{i^2} = \cr}\)
Gemäß der Formel für die "Definition der imaginären Einheit" gilt:
\({i^2} = - 1\)
\(\eqalign{ & = {v^2} - 27\left( { - 1} \right) \cr & w = {v^2} + 27 \cr}\)
Anmerkung: Multipliziert man eine komplexe Zahl mit ihrer konjugiert komplexen Zahl, dann ist das Produkt immer eine reelle Zahl.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(w = {v^2} + 27\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung sowohl in Real- und Imaginärteil mit der korrekten Lösung übereinstimmt.