Aufgabe 17
Division komplexer Zahlen
Berechne:
\(w = \dfrac{1}{{\overline z }}\)
Lösungsweg
Es ist durch eine (konjugiert) komplexe Zahl zu dividieren. Die zu einer Zahl konjugiert komplexe Zahl erhält man, indem man das Vorzeichen des Imaginärteils wechselt, während das Vorzeichen der Realteils unverändert bleibt.
\(\eqalign{
& z = a + ib \cr
& \overline z = a - ib \cr} \)
\(w = \dfrac{1}{{\overline z }} = \dfrac{1}{{a - bi}} =\)
Zähler und Nenner mit der konjugiert komplexen Zahl erweitern
\(\eqalign{ & = \dfrac{1}{{a - bi}} \cdot \dfrac{{a + bi}}{{a + bi}} = \dfrac{{a + bi}}{{{a^2} + {b^2}}} \cr & w = \dfrac{a}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{b}{{{a^2} + {b^2}}}i \cr}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(w = \dfrac{a}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{b}{{{a^2} + {b^2}}}i\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung sowohl in Real- und Imaginärteil mit der korrekten Lösung übereinstimmt.