Aufgabe 20
Division komplexer Zahlen
Berechne:
\(\eqalign{ & w = {z_1}/{z_2} \cr & {z_1} = 6 - 8i \cr & {z_2} = 2i \cr}\)
Lösungsweg
Es kommen die Rechenregeln für die Grundrechnungsarten mit komplexen Zahlen zur Anwendung. Bei der Division komplexer Zahlen erweitert man mit der konjugiert komplexen Zahl vom Nenner gemäß:
\(\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} \cdot \dfrac{{\overline {{z_2}} }}{{\overline {{z_2}} }}\)
\(w = (6 + 8i)/2i =\)
Division als Bruch anschreiben
\(= \dfrac{{6 + 8i}}{{2i}} =\)
Zähler und Nenner mit konjugiert komplexer Zahl erweitern
\(\eqalign{ & = \dfrac{{6 + 8i}}{{2i}} \cdot \dfrac{{ - 2i}}{{ - 2i}} = \cr & = \dfrac{{ - 2 \cdot 6 \cdot i - 8 \cdot 2 \cdot {i^2}}}{{ - 4{i^2}}} = \cr}\)
Gemäß der Formel für die "Definition der imaginären Einheit i" gilt
\({i^2} = - 1\)
\(\eqalign{ & = \dfrac{{ - 12i - 16}}{{ - 4}} \cr & w= 4 + 3i \cr}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(w = 4 + 3i\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung sowohl in Real- und Imaginärteil mit der korrekten Lösung übereinstimmt.