Aufgabe 22
Potenzen komplexer Zahlen
Berechne:
\(w = \dfrac{{i{{(5 + 4i)}^2}}}{{4 - 5i}}\)
Lösungsweg
Es ist eine komplexe Zahl zu potenzieren. Die binomischen Formeln vereinfachen den Rechenweg
\(w = \dfrac{{i{{(5 + 4i)}^2}}}{{4 - 5i}} =\)
Gemäß der 1. binomischen Formel gilt:
\({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\)
\(\eqalign{ & = \dfrac{{i(25 + 40i + 16{i^2})}}{{4 - 5i}} = \cr & = \dfrac{{25i + 40{i^2} + 16{i^3}}}{{4 - 5i}} = \cr}\)
Gemäß Formel für "Höhere Potenzen der imaginären Einheit" gilt:
\({i^3} = - i;{\text{ }}{i^2} = - 1;\)
\(\eqalign{ & = \dfrac{{25i - 40 - 16i}}{{4 - 5i}} = \cr & = \dfrac{{ - 40 + 9i}}{{4 - 5i}} = \cr}\)
Wie bei komplexen Brüchen üblich: Zähler und Nenner mit der konjugiert komplexen Zahl erweitern
\(\eqalign{ & = \dfrac{{ - 40 + 9i}}{{4 - 5i}} \cdot \dfrac{{4 + 5i}}{{4 + 5i}} = \cr & = \dfrac{{ - 160 - 200i + 36i + 45{i^2}}}{{16 - 20i - 20i - 25{i^2}}} = \cr}\)
Gemäß Formel für "Höhere Potenzen der imaginären Einheit" gilt:
\({i^2} = - 1\)
\(\eqalign{ & = \dfrac{{ - 160 - 164i - 45}}{{16 + 25}} = \dfrac{{ - 205}}{{41}} - \dfrac{{164i}}{{41}} \cr & w = - 5 - 4i \cr}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(w = - 5 - 4i\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung sowohl in Real- und Imaginärteil mit der korrekten Lösung übereinstimmt.