Aufgabe 23
Potenzen komplexer Zahlen
Berechne:
\(w = \dfrac{{i{{(6 - 3i)}^2}}}{{3 + 6i}}\)
Lösungsweg
Es ist eine komplexe Zahl zu potenzieren. Die binomischen Formeln vereinfachen den Rechenweg
\(w = \dfrac{{i{{(6 - 3i)}^2}}}{{3 + 6i}} =\)
Gemäß der 2. binomischen Formel gilt:
\({(a - b)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)
\(\eqalign{ & = \dfrac{{i(36 - 36i + 9{i^2})}}{{3 + 6i}} = \cr & = \dfrac{{36i - 36{i^2} + 9{i^3}}}{{3 + 6i}} = \cr}\)
Gemäß der Formel für "Höhere Potenzen der imaginären Einheit" gilt:
\({i^3} = - i;{\text{ }}{i^2} = - 1;\)
\(\eqalign{ & = \dfrac{{36i + 36 - 9i}}{{3 + 6i}} = \cr & = \dfrac{{36 + 27i}}{{3 + 6i}} = \cr}\)
Herausheben und kürzen führt zu kleineren Zahlen für die weitere Rechnung
\(\eqalign{ & = \dfrac{{3(12 + 9i)}}{{3(1 + 2i)}} =\cr}\)
Zähler und Nenner mit der konjugiert komplexen Zahl erweitern
\(\eqalign{ & = \dfrac{{12 + 9i}}{{1 + 2i}} \cdot \dfrac{{1 - 2i}}{{1 - 2i}} = \cr & = \dfrac{{12 - 24i + 9i - 18{i^2}}}{{1 - 2i + 2i - 4{i^2}}} = \cr}\)
Gemäß der Formel für "Höhere Potenzen der imaginären Einheit" gilt:
\({i^2} = - 1\)
\(\eqalign{ & = \dfrac{{12 - 15i + 18}}{{1 + 4}} = \dfrac{{30}}{5} - \dfrac{{15i}}{5} \cr & w = 6 - 3i \cr}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(w = 6 - 3i\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung sowohl in Real- und Imaginärteil mit der korrekten Lösung übereinstimmt.