Aufgabe 24
Potenzen komplexer Zahlen
Berechne:
\(w = \dfrac{{(2 + 4i)}}{{{{(2 - 2i)}^2}}}\)
Lösungsweg
Es ist eine komplexe Zahl zu potenzieren. Die binomischen Formeln vereinfachen den Rechenweg
\(\eqalign{ & w = \dfrac{{(2 + 4i)}}{{{{(2 - 2i)}^2}}} = \cr & = \dfrac{{(2 + 4i)}}{{4 - 8i + 4{i^2}}} = \cr}\)
Gemäß der Formel für "Höhere Potenzen der imaginären Einheit i" gilt:
\({i^2} = - 1\)
Zähler und Nenner mit der konjugiert komplexen Zahl erweitern
\(\eqalign{ & = \dfrac{{(2 + 4i)}}{{4 - 8i - 4}} \cdot \dfrac{{ + 8i}}{{ + 8i}} = \cr & = \dfrac{{16i + 32{i^2}}}{{ - 64{i^2}}} = \cr}\)
Gemäß der Formel für "Höhere Potenzen der imaginären Einheit i" gilt:
\({i^2} = - 1\)
\(\eqalign{ & = \dfrac{{16i - 32}}{{64}} \cr & w = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}i \cr}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(w = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}i\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung sowohl in Real- und Imaginärteil mit der korrekten Lösung übereinstimmt.