Aufgabe 140
Differenzieren von Polynomen
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = 2{x^3} \cdot \left( {4{x^2} + x} \right)\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Lösungsweg
Wir wenden die Regeln für das Differenzieren von Produkten an.
\(f(x) = 2{x^3} \cdot \left( {4{x^2} + x} \right);\)
Gemäß der Produktregel beim Differenzieren gilt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = u\left( x \right) \cdot v\left( x \right);\, \cr & f'\left( x \right) = u'\left( x \right) \cdot v\left( x \right) + u\left( x \right) \cdot v'\left( x \right); \cr}\)
\(\eqalign{ & f(x) = 2{x^3} \cdot \left( {4{x^2} + x} \right); \cr & f'\left( x \right) = \left( {6{x^2}} \right) \cdot \left( {4{x^2} + x} \right) + \left( {2{x^3}} \right) \cdot \left( {8x + 1} \right) = \cr & = 24{x^4} + 6{x^3} + 16{x^4} + 2{x^3} = \cr & = 40{x^4} + 8{x^3} = \cr & = 8{x^3} \cdot \left( {5x + 1} \right) \cr}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f'\left( x \right) = 8{x^3} \cdot \left( {5x + 1} \right)\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.