Aufgabe 153
Quotientenregel beim Differenzieren
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {6 - {x^2}} }}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Wir wenden die Regeln für das Differenzieren von Quotienten an.
Quotientenregel (Differenzieren)
\(\eqalign{ & \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} \cr & \dfrac{{f'\left( x \right) \cdot g\left( x \right) - f\left( x \right) \cdot g'\left( x \right)}}{{{g^2}\left( x \right)}} \cr}\)
Lösungsweg
Wir wenden die Regeln für das Differenzieren von Quotienten an.
\(f(x) = \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {6 - {x^2}} }} = \dfrac{{{x^2}}}{{{{\left( {6 - {x^2}} \right)}^{\dfrac{1}{2}}}}}\)
\(f'\left( x \right) = \dfrac{{\left( {2x} \right) \cdot {{\left( {6 - {x^2}} \right)}^{\dfrac{1}{2}}} - \left( {{x^2}} \right) \cdot \left[ {\dfrac{1}{2}{{\left( {6 - {x^2}} \right)}^{ - \dfrac{1}{2}}} \cdot \left( { - 2x} \right)} \right]}}{{\left( {6 - {x^2}} \right)}} =\)
Um den Bruch zu vereinfachen erweitern wir mit: \(\dfrac{{{{\left( {6 - {x^2}} \right)}^{\dfrac{1}{2}}}}}{{{{\left( {6 - {x^2}} \right)}^{\dfrac{1}{2}}}}} = 1\)
\(= \dfrac{{2x \cdot {{\left( {6 - {x^2}} \right)}^{\dfrac{1}{2}}} + {x^3} \cdot {{\left( {6 - {x^2}} \right)}^{ - \dfrac{1}{2}}}}}{{\left( {6 - {x^2}} \right)}} \cdot \dfrac{{{{\left( {6 - {x^2}} \right)}^{\dfrac{1}{2}}}}}{{{{\left( {6 - {x^2}} \right)}^{\dfrac{1}{2}}}}} =\)
beachte:
\({a^{\dfrac{1}{2}}}.{a^{\dfrac{1}{2}}} = a{\text{ bzw}}{\text{.: }}{a^{ - \dfrac{1}{2}}}.{a^{\dfrac{1}{2}}} = 1\)
somit:
\(\eqalign{ & = \dfrac{{2x \cdot \left( {6 - {x^2}} \right) + {x^3}}}{{{{\left( {6 - {x^2}} \right)}^{\dfrac{3}{2}}}}} = \cr & = \dfrac{{12x - 2{x^3} + {x^3}}}{{{{\left( {6 - {x^2}} \right)}^{\dfrac{3}{2}}}}} = \cr & = - \dfrac{{{x^3} - 12x}}{{\sqrt {{{\left( {6 - {x^2}} \right)}^3}} }}; \cr}\)
Wir haben die Quotientenregel angewendet und die innere Ableitung nicht vergessen:
Gemäß der Regel für das Differenzieren von Quotienten (Brüchen) gilt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \dfrac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}};\, \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{{u'\left( x \right) \cdot v\left( x \right) - u\left( x \right) \cdot v'\left( x \right)}}{{{v^2}\left( x \right)}} \cr}\)
mit:
\(u\left( x \right) = {x^2}\) | \(u'\left( x \right) = 2x\) |
\(v\left( x \right) = {\left( {6 - {x^2}} \right)^{\dfrac{1}{2}}}\) | \(v\left( x \right) = \dfrac{1}{2}{\left( {6 - {x^2}} \right)^{ - \dfrac{1}{2}}} \cdot \left( { - 2x} \right)\) |
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f'\left( x \right) = - \dfrac{{{x^3} - 12x}}{{\sqrt {{{\left( {6 - {x^2}} \right)}^3}} }}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.