Aufgabe 155
Polynom differenzieren
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = \left( {2x - 4} \right) \cdot \left( {2x + 4} \right)\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
1. Teilaufgabe: Wende die Produktregel an
2. Teilaufgabe: Bilde zunächst das Polynom und differenziere dieses anschließend
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir wenden die Produktregel an:
\(f(x) = \left( {2x - 4} \right) \cdot \left( {2x + 4} \right);\)
\(\eqalign{ & f'\left( x \right) = \left( 2 \right) \cdot \left( {2x + 4} \right) + \left( {2x - 4} \right) \cdot \left( 2 \right) = \cr & = 4x + 8 + 4x - 8 = \cr & = 8x \cr}\)
Wir haben die Produktregel angewendet
Gemäß der Regel für das Differenzieren von Produkten gilt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = u\left( x \right) \cdot v\left( x \right);\, \cr & f'\left( x \right) = u'\left( x \right) \cdot v\left( x \right) + u\left( x \right) \cdot v'\left( x \right) \cr}\)
mit:
\(\eqalign{ & u\left( x \right) = \left( {2x - 4} \right);\,\,\,\,\,u'\left( x \right) = 2; \cr & v\left( x \right) = \left( {2x + 4} \right);\,\,\,\,\,v'\left( x \right) = 2 \cr}\)
2. Teilaufgabe:
Wir bilden zunächst durch ausmultiplizieren der Klammern das Polynom und differenzieren dieses anschließend:
\(f(x) = \left( {2x - 4} \right) \cdot \left( {2x + 4} \right) = 4{x^2} + 8x - 8x - 16 = \left( {4{x^2} - 16} \right);\)
\(f'\left( x \right) = 2 \cdot 4x - 0 = 8x\)
Wir haben die Summen- / Differenzenregel angewendet.
Gemäß der Regel für das Differenzieren von Summen bzw. Differenzen gilt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = u\left( x \right) \pm v\left( x \right); \cr & f'\left( x \right) = u'\left( x \right) \pm v'\left( x \right) \cr}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet für beide Teilaufgaben:
\(f'\left( x \right) = 8x\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.