Aufgabe 156
Produktregel beim Differenzieren
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = \left( {6{x^2} + 3x + 6} \right) \cdot {\left( { - 2{x^2} + 4x - 3} \right)^2}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x)gemäß den Regeln der Differentialrechnung. Wende dazu die Produktregel an und beende danach die Berechnung, ohne die Klammern auszumultiplizieren und somit ohne den Ausdruck als Polynom anzuschreiben.
Lösungsweg
Wir wenden die Regeln für das Differenzieren von Produkten an.
\(f(x) = \left( {6{x^2} + 3x + 6} \right) \cdot {\left( { - 2{x^2} + 4x - 3} \right)^2};\)
\(\eqalign{ & f'\left( x \right) = \left( {12x + 3} \right) \cdot {\left( { - 2{x^2} + 4x - 3} \right)^2} + \left( {6{x^2} + 3x + 6} \right) \cdot \left[ {2{{\left( { - 2{x^2} + 4x - 3} \right)}^{2 - 1}} \cdot \left( { - 2 \cdot 2x + 4} \right)} \right] = \cr & = \left( {12x + 3} \right) \cdot {\left( { - 2{x^2} + 4x - 3} \right)^2} + \left( {6{x^2} + 3x + 6} \right) \cdot \left[ {\left( { - 4{x^2} + 8x - 6} \right) \cdot \left( { - 4x + 4} \right)} \right] = ... \cr}\)
Mit Hilfe von Wolfram Alpha® können wir auf folgendes Polynom vereinfachen:
\(... = 144{x^5} - 420{x^4} + 576{x^3} - 468{x^2} + 300x - 117;\)
Wir haben die Produktregel angewendet und die innere Ableitung nicht vergessen.
Gemäß der Formel für das Differenzieren von Produkten gilt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = u\left( x \right) \cdot v\left( x \right);\, \cr & f'\left( x \right) = u'\left( x \right) \cdot v\left( x \right) + u\left( x \right) \cdot v'\left( x \right) \cr}\)
mit:
\(\eqalign{ & u\left( x \right) = \left( {6{x^2} + 3x + 6} \right);\,\,\,\,\,u'\left( x \right) = \left( {2.6x + 3} \right); \cr & v\left( x \right) = {\left( { - 2{x^2} + 4x - 3} \right)^2};\,\,\,\,\,v'\left( x \right) = 2{\left( { - 2{x^2} + 4x - 3} \right)^{2 - 1}} \cdot \left( { - 2 \cdot 2x + 4} \right) \cr}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f'\left( x \right) = \left( {12x + 3} \right) \cdot {\left( { - 2{x^2} + 4x - 3} \right)^2} + \left( {6{x^2} + 3x + 6} \right) \cdot \left[ {\left( { - 4{x^2} + 8x - 6} \right) \cdot \left( { - 4x + 4} \right)} \right] = ...\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.