Aufgabe 157
Differenzieren von Polynomen
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = \dfrac{{3{x^3} + 9{x^2}}}{{3x}}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
- 1. Teilaufgabe: Wende die Quotientenregel an
- 2. Teilaufgabe: Wende die Produktregel an
- 3. Teilaufgabe: Bilde zunächst das Polynom und differenziere dieses anschließend gemäß der Summenregel
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir wenden die Quotientenregel an
\(f(x) = \dfrac{{3{x^3} + 9{x^2}}}{{3x}}\)
\(\eqalign{ & f'\left( x \right) = \dfrac{{\left( {3 \cdot 3{x^2} + 9 \cdot 2x} \right) \cdot \left( {3x} \right) - \left( {3{x^3} + 9{x^2}} \right) \cdot \left( 3 \right)}}{{{{\left( {3x} \right)}^2}}} = \cr & = \dfrac{{27{x^3} + 54{x^2} - 9{x^3} - 27{x^2}}}{{9{x^2}}} = \cr & = \dfrac{{18{x^3} + 27{x^2}}}{{9{x^2}}} = \cr & = \dfrac{{9{x^2} \cdot \left( {2x + 3} \right)}}{{9{x^2}}} = \cr & = 2x + 3 \cr}\)
Wir haben die Quotientenregel angewendet:
Gemäß der Formel für das Differenzieren von Quotienten (Brüchen) gilt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \dfrac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}}; \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{{u'\left( x \right) \cdot v\left( x \right) - u\left( x \right) \cdot v'\left( x \right)}}{{{v^2}\left( x \right)}} \cr}\)
mit:
\(u\left( x \right) = 3{x^3} + 9{x^2}\) | \(u'\left( x \right) = 3 \cdot 3{x^2} + 9 \cdot 2x\) |
\(v\left( x \right) = 3x\) | \(v'\left( x \right) = 3\) |
2. Teilaufgabe:
Wir wenden die Produktregel an
\(f(x) = \dfrac{{3{x^3} + 9{x^2}}}{{3x}} = \dfrac{{3{x^3}}}{{3x}} + \dfrac{{9{x^2}}}{{3x}} = {x^2} + 3x = x \cdot \left( {x + 3} \right)\)
\(f'\left( x \right) = 1 \cdot \left( {x + 3} \right) + x \cdot 1 = x + 3 + x = 2x + 3\)
Wir haben die Produktregel angewendet:
Gemäß der Formel für das Differenzieren von Produkten gilt
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = u\left( x \right) \cdot v\left( x \right);\, \cr & f'\left( x \right) = u'\left( x \right) \cdot v\left( x \right) + u\left( x \right) \cdot v'\left( x \right) \cr}\)
mit:
\(u\left( x \right) = x\) | \(u'\left( x \right) = 1\) |
\(v\left( x \right) = \left( {x + 3} \right)\) | \(v' = 1\) |
3. Teilaufgabe:
Wir bilden zunächst ein Polynom und differenzieren dieses anschließend
\(f(x) = \dfrac{{3{x^3} + 9{x^2}}}{{3x}} = \dfrac{{3{x^2} \cdot \left( {x + 3} \right)}}{{3x}} = x \cdot \left( {x + 3} \right) = {x^2} + 3x;\)
\(f'\left( x \right) = 2x + 3\)
Wir haben die Summenregel angewendet:
Gemäß der Formel für das Differenzieren von Summen bzw. Differenzen gilt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = u\left( x \right) \pm v\left( x \right); \cr & f'\left( x \right) = u'\left( x \right) \pm v'\left( x \right) \cr}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung ist für alle 3 Teilaufgaben identisch und lautet:
\(f'\left( x \right) = 2x + 3\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.