Aufgabe 158
Produktregel beim Differenzieren
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = x \cdot \sqrt {1 + {x^2}}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Lösungsweg
Bei diesem Beispiel kommen die Potenz.- Ketten und die Produktregel zur Anwendung
\(f(x) = x \cdot \sqrt {1 + {x^2}} = x \cdot {\left( {1 + {x^2}} \right)^{\dfrac{1}{2}}};\)
\(\eqalign{ & f'\left( x \right) = 1 \cdot \sqrt {1 + {x^2}} + x \cdot \dfrac{1}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }} \cdot 2x = \cr & = \sqrt {1 + {x^2}} \cdot \dfrac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = \cr & = \dfrac{{\left( {1 + {x^2}} \right) + {x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = \cr & = \dfrac{{1 + 2{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}; \cr}\)
Wir haben die Produktregel angewendet und haben beim 2. Faktor die innere Ableitung gemäß der Kettenregel nicht vergessen!
Gemäß der Formel für das Differenzieren von Produkten gilt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = u\left( x \right) \cdot v\left( x \right);\, \cr & f'\left( x \right) = u'\left( x \right) \cdot v\left( x \right) + u\left( x \right) \cdot v'\left( x \right) \cr}\)
mit:
\(\eqalign{ & u\left( x \right) = x;\,\,\,\,\,u'\left( x \right) = 1; \cr & v\left( x \right) = {\left( {1 + {x^2}} \right)^{\dfrac{1}{2}}};\,\,\,\,\,v' = Kettenregel \cr}\)
Weiters haben wir die Kettenregel angewendet:
Gemäß der Kettenregel beim Differenzieren gilt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = v\left( {u\left( x \right)} \right); \cr & f'\left( x \right) = v'\left( {u\left( x \right)} \right) \cdot u'\left( x \right) \cr}\)
mit:
Substitution: | \(u = \left( {1 + {x^2}} \right)\) |
Äußere Funktion: | \(v\left( u \right) = {u^{\dfrac{1}{2}}}\) |
Äußere Ableitung: | \(v'\left( u \right) = \dfrac{1}{2} \cdot {u^{ - \dfrac{1}{2}}} = \dfrac{1}{{2\sqrt u }};\) |
Innere Funktion: | \(u\left( x \right) = \left( {1 + {x^2}} \right)\) |
Innere Ableitung: | \(u'\left( x \right) = 2x\) |
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f'\left( x \right) = \dfrac{{1 + 2{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.