Aufgabe 163
Differenzieren von Potenzen
Gegeben sei die Funktion: \(s\left( t \right) = \sqrt {{t^2} - 16} + 12\)
s(t) ist die Funktion, die den Weg in Abhängigkeit von der Reisezeit beschreibt, den ein Raumschiff von seinem Ausgangspunkt aus zurücklegt.
1. Teilaufgabe: Berechne durch Differenzieren die Funktion der Geschwindigkeit v(t), in Abhängigkeit von der Zeit, die das Raumschiff unterwegs ist.
2. Teilaufgabe: Berechne durch Differenzieren die Funktion der Beschleunigung a(t), in Abhängigkeit von der Zeit, die das Raumschiff unterwegs ist.
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Indem wir die Formel, die den zurückgelegten Weg als Funktion der Zeit beschreibt, einmal nach der Zeit ableiten, erhalten wir die Formel für die Geschwindigkeit. Wir werden die Potenzregel anwenden und dabei an die innere Ableitung der Klammer zufolge der Kettenregel denken.
\(s\left( t \right) = \sqrt {{t^2} - 16} + 12 = {\left( {{t^2} - 16} \right)^{\dfrac{1}{2}}} + 12\)
\(v\left( t \right) = \dfrac{{ds}}{{dt}} = \dfrac{d}{{dt}}{\left( {{t^2} - 16} \right)^{\dfrac{1}{2}}} + 12 = \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {{t^2} - 16} \right)}^{ - \dfrac{1}{2}}}} \right] \cdot 2t = \dfrac{t}{{\sqrt {{t^2} - 16} }};\)
Wir haben die Regeln zum Differenzieren von Potenzen anwendet und haben an die innere Ableitung der Klammer gedacht!
Gemäß der Formel für das Differenzieren von Potenzen gilt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {x^n} \cr & f'\left( x \right) = n \cdot {x^{n - 1}} \cr}\)
2. Teilaufgabe:
Indem wir die Formel, die die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit beschreibt, einmal nach der Zeit ableiten, erhalten wir die Formel für die Beschleunigung. Die Beschleunigung ist die zweite Ableitung des Weges nach der Zeit.
\(s\left( t \right) = \sqrt {{t^2} - 16} + 12 = {\left( {{t^2} - 16} \right)^{\dfrac{1}{2}}} + 12\)
\(v\left( t \right) = \dfrac{t}{{\sqrt {{t^2} - 16} }};\)
\(\eqalign{ & a\left( t \right) = \dfrac{{{d^2}s}}{{d{t^2}}} = \dfrac{d}{{dt}}v = \dfrac{d}{{dt}}{\left( {{t^2} - 16} \right)^{ - \dfrac{1}{2}}} \cdot t = \cr & = \left[ {\left( { - \dfrac{1}{2}{{\left( {{t^2} - 16} \right)}^{ - \dfrac{3}{2}}} \cdot 2t} \right) \cdot \left( t \right)} \right] + \left[ {{{\left( {{t^2} - 16} \right)}^{ - \dfrac{1}{2}}} \cdot \left( 1 \right)} \right] = \cr & = - \dfrac{{{t^2}}}{{\root 3 \of {{{\left( {{t^2} - 16} \right)}^2}} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{t^2} - 16} }} = \cr}\)
Ein kleiner Trick für den 2. Summanden:
\({t^2} - 16 = a\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\dfrac{1}{{\sqrt a }} = \dfrac{a}{{\root 3 \of {{a^2}} }}\)
\(\eqalign{ & = - \dfrac{{{t^2}}}{{\root 3 \of {{{\left( {{t^2} - 16} \right)}^2}} }} + \dfrac{{{t^2} - 16}}{{\root 3 \of {{{\left( {{t^2} - 16} \right)}^2}} }} = \cr & = - \dfrac{{16}}{{\root 3 \of {{{\left( {{t^2} - 16} \right)}^2}} }}; \cr}\)
Wir haben die Potenz- und die Produktregel anwendet und haben an die innere Ableitung der Klammer gemäß der Kettenregel gedacht!
Produktregel (Differenzieren)
\(\eqalign{ & f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) \cr & f'\left( x \right) \cdot g\left( x \right) + f\left( x \right) \cdot g'\left( x \right) \cr}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Für die 1. Teilaufgabe: \(v\left( t \right) = \dfrac{t}{{\sqrt {{t^2} - 16} }};\)
- Für die 2. Teilaufgabe: \(a\left( t \right) = - \dfrac{{16}}{{\root 3 \of {{{\left( {{t^2} - 16} \right)}^2}} }};\)
Lösungsschlüssel:
Für jede der 2 Teilaufgaben ist dann ein Punkt zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der jeweils korrekten Lösung der Teilaufgabe übereinstimmt