Aufgabe 179
Produktregel beim Differenzieren
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = \dfrac{{\tan x}}{x}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Lösungsweg
Wir trennen den gegebenen Bruch in ein Produkt bestehend aus 2 Faktoren wie folgt auf. Wir setzen an dieser Stelle die Ableitungsregel für die Tangensfunktion als nicht bekannt voraus und leiten sie uns kurz mal selbst in der 1. Nebenrechnung her. Dann leiten wir noch den 2. Faktor ab und wenden schließlich die Produktregel an.
Wir trennen den gegebenen Bruch in ein Produkt bestehend aus 2 Faktoren wie folgt auf:
\(f(x) = \dfrac{{\tan x}}{x} = \left( {tanx} \right) \cdot \dfrac{1}{x}\)
1. Nebenrechnung - Für den 1. Faktor gilt:
\(\eqalign{ & f(x) = \tan x = \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}; \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot \left( { - \sin x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}} = \cr & = \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \cr & = 1 + {\tan ^2}x \cr} \)
2. Nebenrechnung - Für den 2. Faktor gilt
\(\eqalign{ & f(x) = \dfrac{1}{x} = {x^{ - 1}}; \cr & f'\left( x \right) = - 1 \cdot {x^{ - 2}} = - \dfrac{1}{{{x^2}}} \cr}\)
Kommen wir zur eigentlichen Aufgabe: Für das Produkt aus dem 1. und dem 2. Faktor gilt unter Anwendung der Formel für das Differenzieren von Produkten:
\(f(x) = \dfrac{{\tan x}}{x} = \left( {tanx} \right) \cdot \dfrac{1}{x}\)
\(f'\left( x \right) = \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) \cdot \left( {\dfrac{1}{x}} \right) + \left( {\tan x} \right) \cdot \left( { - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right) =\)
entweder:
\(= \dfrac{1}{x} \cdot \left( {1 + {{\tan }^2}x - \dfrac{{\tan x}}{x}} \right)\)
oder:
\(= \dfrac{1}{x} \cdot \left( {{{\sec }^2}x - \dfrac{{\tan x}}{x}} \right)\)
Gemäß der Formel für die Winkelfunktion "Sekans" gilt:
\(1 + {\tan ^2}\left( x \right) = {\sec ^2}\left( x \right)\)
Wir haben die Regel für das Differenzieren von Produkten angewendet.
Die Regel für das Differenzieren von Produkten lautet:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = u\left( x \right) \cdot v\left( x \right); \cr & f'\left( x \right) = u'\left( x \right) \cdot v\left( x \right) + u\left( x \right) \cdot v'\left( x \right) \cr}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{x} \cdot \left( {1 + {{\tan }^2}x - \dfrac{{\tan x}}{x}} \right) = \dfrac{1}{x} \cdot \left( {{{\sec }^2}x - \dfrac{{\tan x}}{x}} \right)\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.