Aufgabe 185
Differenzieren von Winkelfunktionen
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = \cos \left( {2x} \right) + sin\left( {5x} \right) + cos\left( {2{x^2}} \right) + sin\left( {5{x^2}} \right)\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Lösungsweg
Wir wenden die Regeln für das Differenzieren von Winkelfunktionen an.
\(f(x) = \cos \left( {2x} \right) + sin\left( {5x} \right) + cos\left( {2{x^2}} \right) + sin\left( {5{x^2}} \right)\)
\(\eqalign{ & f'\left( x \right) = - \sin \left( {2x} \right) \cdot 2 + \cos \left( {5x} \right) \cdot 5 - \sin \left( {2{x^2}} \right) \cdot 4x + \cos \left( {5{x^2}} \right) \cdot 10x = \cr & = - 2\sin \left( {2x} \right) + 5\cos \left( {5x} \right) - 4x\sin \left( {2{x^2}} \right) + 10x\cos \left( {5{x^2}} \right) \cr}\)
Wir haben die
- Summenregel sowie die
- Regeln für das Differenzieren von Winkelfunktionen angewendet und
- haben bei jedem Summanden an die innere Ableitung vom Klammerausdruck zufolge der Kettenregel gedacht
Gemäß den Formeln für das Differenzieren der Winkelfunktionen "Sinus" bzw. "Kosinus" gilt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \sin x;\,\,\,\,\,\,\,f'(x) = \cos x; \cr & f\left( x \right) = \cos x;\,\,\,\,\,f'\left( x \right) = - \sin x \cr}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f'\left( x \right) = - 2\sin \left( {2x} \right) + 5\cos \left( {5x} \right) - 4x\sin \left( {2{x^2}} \right) + 10x\cos \left( {5{x^2}} \right)\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.