Aufgabe 204
Produktregel beim Differenzieren
Gegeben sei die Funktion: \(f\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^2} \cdot \sqrt {x + 2}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung.
Lösungsweg
Wir wenden die Regeln für das Differenzieren von Produkten an.
\(f\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^2} \cdot \sqrt {x + 2} = {\left( {x + 2} \right)^2} \cdot {\left( {x + 2} \right)^{\dfrac{1}{2}}}\)
\(\eqalign{ & f'\left( x \right) = \left[ {2\left( {x + 2} \right) \cdot 1} \right] \cdot {\left( {x + 2} \right)^{\dfrac{1}{2}}} + {\left( {x + 2} \right)^2} \cdot \left[ {\dfrac{1}{2} \cdot {{\left( {x + 2} \right)}^{ - \dfrac{1}{2}}} \cdot 1} \right] = \cr & = 2\left( {x + 2} \right) \cdot \sqrt {x + 2} + \dfrac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{2\sqrt {x + 2} }} = \cr} \)
Wir substituieren: a=(x+2)
\(\eqalign{ & = 2 \cdot a \cdot \sqrt a + \frac{{{a^2}}}{{2\sqrt a }} = \cr & = 2 \cdot a \cdot \sqrt a + \frac{{a \cdot \sqrt a \cdot \sqrt a }}{{2\sqrt a }} = \cr & = 2 \cdot a \cdot \sqrt a + \frac{{a \cdot \sqrt a }}{2} = \cr & = 2 \cdot a \cdot \sqrt a + \frac{1}{2}a \cdot \sqrt a = \cr & = a \cdot \sqrt a \cdot \left( {2 + \frac{1}{2}} \right) = \cr & = a \cdot \sqrt a \cdot \frac{5}{2} = \cr} \)
Wir setzen wieder a=(x+2) ein
\( = \dfrac{5}{2} \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \sqrt {x + 2}\)
Wir haben die Produktregel anwendet und an die innere Ableitung der Klammer gedacht, um diese zu veranschaulichen haben wir - an sich unnötige - eckige Klammern verwendet!
Gemäß der Regel für das Differenzieren von Produkten gilt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = u\left( x \right) \cdot v\left( x \right);\, \cr & f'\left( x \right) = u'\left( x \right) \cdot v\left( x \right) + u\left( x \right) \cdot v'\left( x \right) \cr} \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f'\left( x \right) = \dfrac{5}{2} \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \sqrt {x + 2}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.