Aufgabe 106
Orthogonalitätskriterium
Zeige durch Vektorrechnung, dass nachfolgende Punkte ein rechtwinkeliges Dreieck bilden:
\(A\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ { - 4} \end{array}} \right);\,\,\,\,\,B\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 2 \end{array}} \right);\,\,\,\,\,C\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ 2 \end{array}} \right);\)
Lösungsweg
Wir bilden gemäß der "Spitze minus Schaft Regel" zunächst die 3 Vektoren, die die Seiten des rechtwinkeligen Dreiecks aufspannen. Danach prüfen wir, ob zwischen beliebigen 2 Vektoren ein rechter Winkel besteht. Dazu verwenden wir das Orthogonalitätskriterium für Vektoren.
Wir berechnen zunächst die 3 Vektoren, die das Dreieck aufspannen:
Gemäß der „Spitze minus Schaft Regel“ gilt:
\(\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow v = Q - P = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x} - {P_x}}\\ {{Q_y} - {P_y}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}} \end{array}} \right)\)
\(\begin{array}{l} \overrightarrow c = \overrightarrow {AB} = B - A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 2 \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ { - 4} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {4 + 2}\\ {2 + 4} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ 6 \end{array}} \right);\\ \overrightarrow a = \overrightarrow {BC} = C - B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ 2 \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 2 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2 - 4}\\ {2 - 2} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}\\ 0 \end{array}} \right);\\ \overrightarrow b = \overrightarrow {CA} = A - C = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ { - 4} \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ 2 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ { - 6} \end{array}} \right); \end{array}\)
Nun prüfen wir ob 2 Seiten im rechten Winkel zu einander stehen:
Gemäß dem „Orthogonalitätskriterium“ gilt:
\(\begin{array}{l} \overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0\\ {a_x}{b_x} + {a_y}{b_y} = 0; \end{array}\)
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = - 6 \cdot 0 + 0 \cdot \left( { - 6} \right) = 0 \Rightarrow \overrightarrow a \bot \overrightarrow b ;\)
...wir haben Glück, denn wir haben schon beim 1. von 3 möglichen Versuchen den rechten Winkel gefunden und somit den gewünschten Nachweis erbracht...
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.