Aufgabe 107
Orthogonalitätskriterium
Zeige durch Vektorrechnung, dass nachfolgende Punkte ein rechtwinkeliges Dreieck bilden:
\(A\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ { - 2} \end{array}} \right);\,\,\,\,\,B\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 4 \end{array}} \right);\,\,\,\,\,C\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 9\\ { - 1} \end{array}} \right);\)
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Wir bilden gemäß der "Spitze minus Schaft Regel" zunächst die 3 Vektoren, die die Seiten des rechtwinkeligen Dreiecks aufspannen. Danach prüfen wir, ob zwischen beliebigen 2 Vektoren ein rechter Winkel besteht. Dazu verwenden wir das Orthogonalitätskriterium für Vektoren.
Orthogonalitätskriterium
\(\eqalign{ & \overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0 \cr & {a_x}{b_x} + {a_y}{b_y} = 0; \cr}\)
Lösungsweg
Wir bilden gemäß der "Spitze minus Schaft Regel" zunächst die 3 Vektoren, die die Seiten des rechtwinkeligen Dreiecks aufspannen. Danach prüfen wir, ob zwischen beliebigen 2 Vektoren ein rechter Winkel besteht. Dazu verwenden wir das Orthogonalitätskriterium für Vektoren.
Wir berechnen zunächst die 3 Vektoren, die das Dreieck aufspannen:
Gemäß der „Spitze minus Schaft Regel“ gilt:
\(\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow v = Q - P = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x} - {P_x}}\\ {{Q_y} - {P_y}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}} \end{array}} \right)\)
\(\begin{array}{l} \overrightarrow c = \overrightarrow {AB} = B - A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 4 \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ { - 2} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {3 + 2}\\ {4 + 2} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 6 \end{array}} \right);\\ \overrightarrow a = \overrightarrow {BC} = C - B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 9\\ { - 1} \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 4 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {9 - 3}\\ { - 1 - 4} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ { - 5} \end{array}} \right);\\ \overrightarrow b = \overrightarrow {CA} = A - C = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ { - 2} \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 9\\ { - 1} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 11}\\ { - 1} \end{array}} \right); \end{array}\)
Nun prüfen wir ob 2 Seiten im rechten Winkel zu einander stehen:
Gemäß dem „Orthogonalitätskriterium gilt:
\(\begin{array}{l} \overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0\\ {a_x}{b_x} + {a_y}{b_y} = 0; \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 6 \cdot \left( { - 11} \right) + \left( { - 5} \right) \cdot \left( { - 1} \right) = - 66 + 5 = 61;\\ \overrightarrow a \cdot \overrightarrow c = 5 \cdot 6 + 6 \cdot \left( { - 5} \right) = 30 - 30 = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a \bot \overrightarrow c ; \end{array}\)
...wir haben relatives Glück, denn wir haben schon beim 2. von 3 möglichen Versuchen den rechten Winkel gefunden und somit den gewünschten Nachweis erbracht...
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\overrightarrow a \bot \overrightarrow c\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.