Aufgabe 108
Parallelogramm mittels Vektoren berechnen
Gegeben ist ein Parallelogramm mit:
\(A\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ { - 2} \end{array}} \right);\,\,\,\,\,B\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 1 \end{array}} \right);\,\,\,\,\,C\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4}\\ 3 \end{array}} \right);\)
1. Teilaufgabe: Prüfe, ob es sich tatsächlich „nur“ um ein Parallelogramm handelt, oder ob nicht sogar ein Rechteck vorliegt
2. Teilaufgabe: Berechne die Koordinaten von D auf 2 Arten
3. Teilaufgabe: Berechne den Umfang der Figur
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Prüfe, ob es sich tatsächlich „nur“ um ein Parallelogramm handelt, oder ob nicht sogar ein Rechteck vorliegt.
Ein Rechteck würde vorliegen, wenn \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {BC}\). Wir entscheiden darüber, ob der Winkel ein rechter ist, an Hand des skalaren Produkts!
\(\begin{array}{l} \overrightarrow a = \overrightarrow {AB} = B - A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ {1 - \left( { - 2} \right)} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 3 \end{array}} \right);\\ \overrightarrow b = \overrightarrow {BC} = C - B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( { - 4} \right) - 3}\\ {3 - 1} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 7}\\ 2 \end{array}} \right); \end{array}\)
Das skalare Produkt zweier Vektoren ist genau dann Null, wenn die beiden Vektoren auf einander im rechten Winkel stehen.
Gemäß dem Orthogonalitätskriterium gilt:
\(\begin{array}{l} \overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0\\ {a_x}{b_x} + {a_y}{b_y} = 0; \end{array}\)
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 3 \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 7}\\ 2 \end{array}} \right) = 1 \cdot \left( { - 7} \right) + 3 \cdot 2 = - 7 + 6 = - 1\)
Antwort: Nein, es liegt kein Rechteck vor.
2. Teilaufgabe:
Den gesuchten Punkt D können wir auf 2 Arten berechnen
\(D = C + \overrightarrow {BA} = C - \overrightarrow {AB} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4}\\ 3 \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 3 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4 - 1}\\ {3 - 3} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 5}\\ 0 \end{array}} \right);\)
oder:
\(D = \overrightarrow {0B} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {0B} + \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AB} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 1 \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 7}\\ 2 \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 3 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {3 - 7 - 1}\\ {1 + 2 - 3} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 5}\\ 0 \end{array}} \right);\)
Achtung: Auf den Vektor vom Ursprung 0 zu B nicht vergessen!
3. Teilaufgabe:
Berechne den Umfang der Figur
\(\begin{array}{l} \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{1^2} + {3^2}} = \sqrt {10} ;\\ \left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {{{\left( { - 7} \right)}^2} + {2^2}} = \sqrt {49 + 4} = \sqrt {53} ;\\ U = 2 \cdot \sqrt {10} + 2 \cdot \sqrt {53} \approx 20,88; \end{array}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Für die 1. Teilaufgabe: Nein, es liegt kein Rechteck vor
- Für die 2. Teilaufgabe: \(D\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 5}\\ 0 \end{array}} \right);\)
- Für die 3. Teilaufgabe: \(U \approx 20,88\)
Lösungsschlüssel:
Für jede der 3 Teilaufgaben ist dann ein Punkt zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der jeweils korrekten Lösung der Teilaufgabe übereinstimmt