Aufgabe 88
Ermitteln des Richtungsvektors
Auf einer Seekarte wird der Kurs eines Bootes eingezeichnet. Das Boot startet beim Startpunkt S(2/0) und kommt nach 12 Minuten Fahrt beim Zielpunkt Z(2/36) an. Das Boot hat sich mit konstanter Geschwindigkeit und auf geradlinigem Kurs von S nach Z bewegt.
An welchem Punkt P befindet sich das Boot nach 3 Minuten Fahrt?
Lösungsweg
Wir ermitteln den Richtungsvektor für die Fahrtrichtung des Bootes. Danach bestimmen wir die zurückgelegte Strecke indem wir die Fahrtstrecke auf 3/12 - entsprechend "3 von 12 Minuten Fahrzeit" skalieren.
Natürlich kann man bei diesem einfachen Beispiel die Antwort sofort hinschreiben: Da sowohl die x-Koordinate von S als auch von Z jeweils x=2 ist, bewegt sich das Boot ausschließlich in Richtung der y-Koordinate aber überhaupt nicht in Richtung der x-Koordinate. Da das Boot bei S mit y=0 wegfährt und bei Z mit y=36 ankommt, legt es in den 12 Minten Fahrzeit genau 36 Einheiten in Richtung der y-Achse zurück. In 3 Minuten Fahrzeit legt es daher ein Viertel des Weges zurück. Für den Punkt P muss x=2 natürlich auch hier wieder gelten und y=36/4=9.
...und so kann man das ganz allgemein ausrechnen...
Zuerst bestimmen wir die Fahrtstrecke
\(\overrightarrow {SZ} = Z - S =\)
Gemäß der „Spitze minus Schaft Regel“ gilt:
\(\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow v = Q - P = \left( {\matrix{ {{Q_x} - {P_x}} \cr {{Q_y} - {P_y}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {{v_x}} \cr {{v_y}} \cr } } \right)\)
\(\eqalign{ & = \left( {\matrix{ 2 \cr {36} \cr } } \right) - \left( {\matrix{ 2 \cr 0 \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {2 - 2} \cr {36 - 0} \cr } } \right) = \cr & \overrightarrow {SZ} = \left( {\matrix{ 0 \cr {36} \cr } } \right); \cr}\)
Nun berechnen wir wo sich das Boot nach 3 von 12 Minuten entlang der Fahrtstrecke befindet
\(\overrightarrow {SP} = \dfrac{3}{{12}} \cdot \overrightarrow {SZ}\)
\(P = S + \overrightarrow {SP} =\)
Gemäß der „Append Regel“ gilt:
\(Q = P + \overrightarrow {PQ} = P + \overrightarrow v = \left( {\matrix{ {{P_x}} \cr {{P_y}} \cr } } \right) + \left( {\matrix{ {{v_x}} \cr {{v_y}} \cr } } \right)\)
\(\eqalign{ & = \left( {\matrix{ 2 \cr 0 \cr } } \right) + {3 \over {12}} \cdot \left( {\matrix{ 0 \cr {36} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ 2 \cr 0 \cr } } \right) + \left( {\matrix{ {{{3 \cdot 0} \over {12}}} \cr {{{3 \cdot 36} \over {12}}} \cr } } \right) = \cr & = \left( {\matrix{ 2 \cr 0 \cr } } \right) + \left( {\matrix{ 0 \cr 9 \cr } } \right) \cr & P = \left( {\matrix{ 2 \cr 9 \cr } } \right) \cr}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(P = \left( {\matrix{ 2 \cr 9 \cr } } \right);\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.