Differenzvektor
Das Resultat einer Vektorsubtraktion wird als Differenzvektor bezeichnet.
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Vektoralgebra
Die Vektoralgebra beschäftigt sich mit den Grundrechenregeln für Vektoren
Addition zweier Vektoren
Bei der Addition von Vektoren werden die einzelnen Komponenten der Vektoren je Achsenrichtung addiert. Zwei Vektoren werden graphisch addiert, \(\overrightarrow s = \overrightarrow a + \overrightarrow b\) indem man die Vektoren aneinander hängt. Der Summenvektor \(\overrightarrow s\) stellt die Diagonale eines durch die beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms dar.
\(\overrightarrow s = \overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x}}\\ {{a_y}}\\ {{a_z}} \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_x}}\\ {{b_y}}\\ {{b_z}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x} + {b_x}}\\ {{a_y} + {b_y}}\\ {{a_z} + {b_z}} \end{array}} \right)\)
Rechenregeln für die Vektoraddition
\(\begin{array}{l} \overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow b + \overrightarrow a \\ \overrightarrow a + \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) = \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c \\ k \cdot \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = k \cdot \overrightarrow a + k \cdot \overrightarrow b \\ \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| \le \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| \end{array}\)
Illustration zur Addition zweier Vektoren
Subtraktion zweier Vektoren
Bei der Subtraktion von Vektoren werden die einzelnen Komponenten der Vektoren je Achsenrichtung subtrahiert. Zwei Vektoren werden graphisch subtrahiert, \(\overrightarrow d = \overrightarrow a - \overrightarrow b\) indem man den inversen Vektor von \(\overrightarrow b\) (gleich lang wie b, aber umgekehrte Richtung), also – b, addiert. Das Resultat einer Vektorsubtraktion wird als Differenzvektor bezeichnet.
\(\overrightarrow d = \overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x}}\\ {{a_y}}\\ {{a_z}} \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_x}}\\ {{b_y}}\\ {{b_z}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x} - {b_x}}\\ {{a_y} - {b_y}}\\ {{a_z} - {b_z}} \end{array}} \right)\)
Illustration zur Subtraktion zweier Vektoren
Kommutativgesetz der Vektoralgebra
Das Kommutativgesetz der Vektoralgebra besagt, dass bei der Addition von Vektoren die Reihenfolge der Summanden beliebig vertauscht werden darf.
\(\overrightarrow A + \overrightarrow B = \overrightarrow B + \overrightarrow A \)
Distributivgesetze der Vektoralgebra
Das Distributivgesetz der Vektoralgebra besagt, dass man reelle Zahlen aus einer Summe heraushaben kann, wenn bei dieser Summe ein und der selbe Vektor mit unterschiedlichen reellen Zahlen multipliziert wird.
\(\eqalign{ & m\left( {n\overrightarrow A } \right) = \left( {mn} \right)\overrightarrow A = n\left( {m\overrightarrow A } \right) \cr & \left( {m + n} \right)\overrightarrow A = m\overrightarrow A + n\overrightarrow A \cr & m\left( {\overrightarrow A + \overrightarrow B } \right) = m\overrightarrow A + m\overrightarrow B \cr} \)
Assoziativgesetz der Vektoralgebra
Das Assoziativgesetz der Vektoralgebra besagt, dass bei der Addition von Vektoren die Klammern beliebig gesetzt werden dürfen.
\(\overrightarrow A + \left( {\overrightarrow B + \overrightarrow C } \right) = \left( {\overrightarrow A + \overrightarrow B } \right) + \overrightarrow C \)
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Aufgaben
Aufgabe 86
Subtraktion von Vektoren
Stelle die beiden gegebenen Vektoren als Pfeile von einem gemeinsamen Ausgangspunkt dar. Berechne und konstruiere dann den gefragten Vektor.
\(\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 4 \end{array}} \right);\,\,\,\,\,\overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 4 \end{array}} \right);\)
Gesucht: \(\overrightarrow c = \overrightarrow a - \overrightarrow b \)
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Aufgabe 87
Subtraktion von Vektoren
Stelle die beiden gegebenen Vektoren als Pfeile von einem gemeinsamen Ausgangspunkt dar. Berechne und konstruiere dann den gefragten Vektor.
\(\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 4 \end{array}} \right);\,\,\,\,\,\overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 4 \end{array}} \right);\)
Gesucht: \(\overrightarrow c = \overrightarrow b - \overrightarrow a \)
Aufgabe 88
Ermitteln des Richtungsvektors
Auf einer Seekarte wird der Kurs eines Bootes eingezeichnet. Das Boot startet beim Startpunkt S(2/0) und kommt nach 12 Minuten Fahrt beim Zielpunkt Z(2/36) an. Das Boot hat sich mit konstanter Geschwindigkeit und auf geradlinigem Kurs von S nach Z bewegt.
An welchem Punkt P befindet sich das Boot nach 3 Minuten Fahrt?
Aufgabe 90
Subtraktion von Vektoren
Subtrahiere die beiden Vektoren
\(\eqalign{ & \overrightarrow a = \left( {\matrix{ 2 \cr 1 \cr } } \right);\,\,\,\,\,\overrightarrow b = \left( {\matrix{ 1 \cr 3 \cr } } \right); \cr & \overrightarrow c = \overrightarrow a - \overrightarrow b \cr}\)