Aufgabe 1132
AHS - 1_132 & Lehrstoff: AG 3.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Gerade in Parameterform
Gegeben ist die Gerade g mit der Gleichung \(3x - 4y = 12\)
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Gleichung von g in Parameterform an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Die Gleichung der Geraden g liegt in der allgemeinen Form der Geradengleichung vor.
- Wir ermitteln die Koordinaten von einem bel. Punkt der auf der Geraden liegt.
- Wir ermitteln die Koordinaten vom Normalvektor, die wir direkt aus der allgemeinen Form der Geradengleichung ablesen können und drehen diese um 90° gemäß \(\overrightarrow r = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - {n_y}}\\ {{n_x}} \end{array}} \right)\)
Lösungsweg
Wir errechnen einen (beliebigen) Punkt, der auf der Geraden liegt. Wählen wir z.B. jenen Punkt, bei dem die Gerade die x-Achse schneidet, also für den y=0 gilt. Dazu setzen wir in die Geradengleichung ein:
\(\begin{array}{l} 3x - 4y = 12\,\,\,\,\,\left| {y = 0} \right.\\ 3x - 4 \cdot 0 = 12\\ 3x = 12\,\,\,\,\,\left| {:3} \right.\\ x = \dfrac{{12}}{3} = 4\\ \\ P\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 0 \end{array}} \right) \end{array}\)
Nun müssen wir noch einen Richtungsvektor \(\overrightarrow r\) mit der entsprechenden Steigung anschreiben. Wir wissen, dass die Koeffizienten der allgemeinen Form der Geradengleichung zugleich die Koordinaten vom Normalvektor \(\overrightarrow n\) sind: \(\overrightarrow n = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ { - 4} \end{array}} \right)\)
Der gesuchte Richtungsvektor \(\overrightarrow r\) steht im rechten Winkel auf \(\overrightarrow n = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ { - 4} \end{array}} \right)\), wir wenden daher die „Links Kipp Regel“ an:
\(\begin{array}{l} \overrightarrow n = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ { - 4} \end{array}} \right)\\ \overrightarrow r = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - {n_y}}\\ {{n_x}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 3 \end{array}} \right) \end{array}\)
Somit können wir die Geradengleichung für g in der Parameterform wie folgt anschreiben:
\(g:X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 0 \end{array}} \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 3 \end{array}} \right)\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(g:X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 0 \end{array}} \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 3 \end{array}} \right)\)
Lösungsschlüssel:
Jede andere Gleichung für g (anderer Punkt, der auf g liegt, Vielfaches des Richtungsvektors) ist ebenfalls als richtig zu werten.