Aufgabe 1194
AHS - 1_194 & Lehrstoff: AG 2.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sparbuch
Ein Geldbetrag K wird auf ein Sparbuch gelegt. Er wächst in n Jahren bei einem effektiven Jahreszinssatz von p% auf \(K\left( n \right) = K \cdot {\left( {1 + \dfrac{p}{{100}}} \right)^n}\)
Aufgabenstellung
Geben Sie eine Formel an, die es ermöglicht, aus dem aktuellen Kontostand K(n) jenen des nächsten Jahres K( n + 1) zu errechnen!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Bei der in der Angabe gegebenen Formel handelt es sich um die sogenannte Leibniz’sche Zinseszinsformel zur Errechnung vom Endkapital nach n Jahren:
\({K_n} = {K_0} \cdot {\left( {1 + \dfrac{p}{{100}}} \right)^n}{\text{ bzw}}{\text{. K}}\left( n \right) = K \cdot {\left( {1 + \dfrac{p}{{100}}} \right)^n}\)
Als Aufzinsungsfaktor bezeichnet man den Term in der Klammer: \(q = 1 + \dfrac{p}{{100}}\)womit man auch wie folgt schreiben kann: \({K_n} = {K_0} \cdot {\left( {1 + \dfrac{p}{{100}}} \right)^n} = {K_0} \cdot {q^n}\) . Kn entspricht also dem Endwert, der sich nach n Perioden aus dem Anfangskapital zuzüglich der Verzinsung ergibt.
- Im vorliegenden Beispiel ist K(n)=K0 jeweils der Wert am Anfang jedes Jahres.
- n=1, da ausschließlich nach dem Endwert des nächsten Jahres K(n+1) gefragt wird.
Lösungsweg
Sehen wir uns die Entwicklung vom Kontostand über die ersten Jahre hinweg wie folgt an:
\(\eqalign{ & K(n = 0) = K \cr & K\left( {n = 1} \right) = K \cdot {\left( {1 + \dfrac{p}{{100}}} \right)^1} \cr & K(n = 2) = K \cdot {\left( {1 + \frac{p}{{100}}} \right)^2} = K\left( {n = 1} \right) \cdot \left( {1 + \dfrac{p}{{100}}} \right) \cr & K\left( {n = 3} \right) = K \cdot {\left( {1 + \dfrac{p}{{100}}} \right)^3} = K\left( {n = 2} \right) \cdot \left( {1 + \dfrac{p}{{100}}} \right) \cr & K\left( {n = 4} \right) = K \cdot {\left( {1 + \dfrac{p}{{100}}} \right)^4} = K\left( {n = 3} \right) \cdot \left( {1 + \dfrac{p}{{100}}} \right) \cr} \)
wir erkennen somit das Bildungsgesetz wie folgt:
\(K\left( {n + 1} \right) = K\left( n \right) \cdot \left( {1 + \dfrac{p}{{100}}} \right)\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(K\left( {n + 1} \right) = K\left( n \right) \cdot \left( {1 + \dfrac{p}{{100}}} \right)\)
Lösungsschlüssel:
Alle dazu äquivalenten Ausdrücke, die eine Abhängigkeit von K(n) zeigen, sind als richtig zu werten.