Aufgabe 1204
AHS - 1_204 & Lehrstoff: AG 2.5
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Gleichungssysteme
Gegeben sind Aussagen über die Lösbarkeit von verschiedenen linearen Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten x und y.
- Aussage 1: \(\begin{array}{*{20}{r}} {I:}&x& + &y& = &2\\ {II:}&x& - &{4y}& = &2 \end{array}\) hat genau eine Lösung
- Aussage 2: \(\begin{array}{*{20}{r}} {I:}&{ - x}& + &{4y}& = &{ - 2}\\ {II:}&x& - &{4y}& = &2 \end{array}\) hat unendlich viele Lösungen
- Aussage 3: \(\begin{array}{*{20}{r}} {I:}&x& + &y& = &{62}\\ {II:}&x& - &{4y}& = &{ - 43} \end{array}\) hat genau zwei Lösungen
- Aussage 4: \(\begin{array}{*{20}{r}} {I:}&x& + &y& = &1\\ {II:}&{ - x}& + &y& = &2 \end{array}\) hat genau eine Lösung
- Aussage 5: \(\begin{array}{*{20}{r}} {I:}&x& + &y& = &{62}\\ {II:}&x& + &y& = &{ - 43} \end{array}\) hat keine Lösung
Aufgabenstellung
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
2 lineare Gleichungen mit 2 Unbekannten entsprechen grafisch 2 Geraden in einer Ebene. Wir müssen daher 3 Fälle unterscheiden:
\(\begin{array}{*{20}{c}} {I:}&{{a_1}x}& + &{{b_1}y}& = &{{c_1}}\\ {II}&{{a_2}x}& + &{{b_2}y}& = &{{c_2}} \end{array}\) | |||
Anzahl der Lösungen | geometrische Interpretation | implizite Darstellung | |
Fall 1 | unendlich viele Lösungen | 2 deckungsgleiche Gerade | \(\begin{array}{l} {a_1} \cdot C = {a_2}\\ {b_1} \cdot C = {b_2}\\ {c_1} \cdot C = {c_2} \end{array}\) |
Fall 2 | keine Lösung | 2 parallele Gerade | \(\begin{array}{l} {a_1} \cdot C = {a_2}\\ {b_1} \cdot C = {b_2}\\ {c_1} \cdot C \ne {c_2} \end{array}\) |
Fall 3 |
eine Lösung \(S\left( {{x_S}\left| {{y_2}} \right.} \right)\) |
2 schneidende Gerade mit \(S\left( {{x_S}\left| {{y_2}} \right.} \right)\) | \(\begin{array}{l} {a_1} \cdot C = {a_2}\\ {b_1} \cdot C \ne {b_2}\\ egal \end{array}\) |
Lösungsweg
Wir müssen jeweils überprüfen ob es eine Konstante C gibt, mit der man die eine Gleichung in die andere Gleichung umrechnen kann.
- Aussage 1: \(\begin{array}{*{20}{r}} {I:}&x& + &y& = &2\\ {II:}&x& - &{4y}& = &2 \end{array}\) Richtig, weil \(\begin{array}{l} {a_1} \cdot 1 = {a_2}\\ {b_1} \cdot 1 \ne {b_2} \end{array}\)
- Aussage 2: \(\begin{array}{*{20}{r}} {I:}&{ - x}& + &{4y}& = &{ - 2}\\ {II:}&x& - &{4y}& = &2 \end{array}\) Richtig, weil \(\begin{array}{l} {a_1} \cdot \left( { - 1} \right) = {a_2}\\ {b_1} \cdot \left( { - 1} \right) = {b_2}\\ {c_1} \cdot \left( { - 1} \right) = {c_2} \end{array}\)
- Aussage 3: \(\begin{array}{*{20}{r}} {I:}&x& + &y& = &{62}\\ {II:}&x& - &{4y}& = &{ - 43} \end{array}\) Falsch, weil es "genau" 2 Lösungen garnicht gibt. Es gibt nur 0, 1 oder \(\infty\) Lösungen. Anmerkung: Es sind schneidende Gerade.
- Aussage 4: \(\begin{array}{*{20}{r}} {I:}&x& - &y& = &1\\ {II:}&{ - x}& + &y& = &2 \end{array}\) Falsch, weil \(\begin{array}{l} {a_1} \cdot \left( { - 1} \right) = {a_2}\\ {b_1} \cdot \left( { - 1} \right) = {b_2} \end{array}\) Anmerkung: Die beiden Geraden sind parallel
- Aussage 5: \(\begin{array}{*{20}{r}} {I:}&x& + &y& = &{62}\\ {II:}&x& + &y& = &{ - 43} \end{array}\) Richtig, weil \(\begin{array}{l} {a_1} \cdot 1 = {a_2}\\ {b_1} \cdot 1 = {b_2}\\ {c_1} \cdot 1 \ne {c_2} \end{array}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau drei Aussagen angekreuzt sind und alle Kreuze richtig gesetzt sind