Aufgabe 1205
AHS - 1_205 & Lehrstoff: AG 2.5
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Lösung eines Gleichungssystems
Gegeben ist ein Gleichungssystem mit den Unbekannten a und b:
\(\begin{array}{*{20}{r}} {I:}&{8a}& - &{3b}& = &{10}\\ {II:}&{}&{}&b& = &{2a - 1} \end{array}\)
Aufgabenstellung:
Lösen Sie das angegebene Gleichungssystem!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Bei der II Gleichung ist eine der beiden Variablen - nämlich b - bereits explizit gemacht. Der entstandene Term wird in die I Gleichung eingesetzt, wodurch diese Gleichung nur mehr eine Variable (a) enthält und lösbar wird. Man nennt dieser Verfahren das Substitutionsverfahren oder auch das Einsetzverfahren.
Lösungsweg
Wir sollen die 2 gesuchten Variablen a und b ermitteln und haben dazu 2 Gleichungen zur Verfügung.
\(\begin{array}{*{20}{r}} {I:}&{8a}& - &{3b}& = &{10}\\ {II:}&{}&{}&b& = &{2a - 1} \end{array}\)
Wir setzen b aus der II-Gleichung in die I Gleichung wie folgt ein ("Substitutionsverfahren" oder auch "Einsetzverfahren") und errechnen dadurch a wie folgt:
\(\begin{array}{l} 8a - 3 \cdot \left( {2a - 1} \right) = 10\\ 8a - 6a + 3 = 10\,\,\,\,\,\left| { - 3} \right.\\ 2a = 7\\ a = 3,5 \end{array}\)
Nun setzen wir a in die II Gleichung ein (es ist die einfachere Gleichung) und errechnen dadurch b:
\(\begin{array}{l} b = 2 \cdot 3,5 - 1\\ b = 7 - 1\\ b = 6 \end{array}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\begin{array}{l} a = 3,5\\ b = 6 \end{array}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn beide Werte richtig angegeben sind.