Aufgabe 1214
AHS - 1_214 & Lehrstoff: AG 3.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Anstieg einer parallelen Geraden
Gegeben sind die zwei Geraden g und h:
\(g:\,\,\,\,\,X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 3 \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 4 \end{array}} \right)\)
\(h:\,\,\,\,\,y = k \cdot x + 7\)
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie den Wert von k so, dass g und h zueinander parallel sind!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
- Die Gerade g ist in der Punkt Richtungsform gegeben. \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 3 \end{array}} \right)\)ist also ein Punkt auf der Geraden g und \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 4 \end{array}} \right)\)ist der Richtungsvektor der Geraden g und somit auch der Anstieg der Geraden g. Indem man t variiert erhält man alle Punkte der Geraden g
- Die Gerade h ist in der Hauptform der Geraden gegeben. d=7 ist dabei der Ordinatenabschnitt (also jener y-Wert an der Stelle x=0) und k ist die Steigung der Geraden h
Lösungsweg
Damit die beiden Geraden g und h zueinander parallel sind, müsseen sie die gleiche Steigung haben.
- Gerade g: Aus der Gerade g können wir ihren Richtungsvektor unmittelbar wie folgt ablesen: \(\overrightarrow {{r_g}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 4 \end{array}} \right)\). Dh wenn man um 1 Einheit nach rechts geht, muss man um 4 Einheiten nach oben gehen, um erneut auf der Geraden g zu liegen zu kommen. Somit ist 4 der Anstieg der Geraden g
- Gerade h: k ist der Anstieg der Geraden h. Damit g und h parallel sind, müssen sie den gleichen Anstieg haben. Somit muss gelten: k=4
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
k=4
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn der richtige Wert angegeben ist.