Aufgabe 1392
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 6. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Geradengleichung
Gegeben ist eine Gerade g mit der Gleichung \(2 \cdot x - 5 \cdot y = - 6\)
Aufgabenstellung:
Geben Sie die Gleichung der Geraden h an, die durch den Punkt (0|0) geht und zur Geraden g parallel ist!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
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Lösungsweg
Wir fassen die Angabe wie folgt zusammen:
\(\eqalign{ & g: 2 \cdot x - 5 \cdot y = - 6 \cr & h:h\parallel g{\text{ und }}P\left( {0\left| 0 \right.} \right) \in h \cr} \)
Die Koeffizienten der allgemeinen Form der Geradengleichung sind zugleich die Koordinaten des Normalvektors
Die Koeffizienten der allgemeinen Form der Geradengleichung sind zugleich die Koordinaten des Normalvektors
\(\begin{array}{l} g:ax + by = c\\ ax + by = c \Leftrightarrow \overrightarrow n = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a\\ b \end{array}} \right) \end{array}\)
Somit:
\(\begin{array}{l} g: 2 \cdot x - 5 \cdot y = - 6\\ \overrightarrow n = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ { - 5} \end{array}} \right) \end{array}\)
Da die gesuchte Gerade h parallel zu g sein soll, muss sie
- den selben Normalvektor \(\overrightarrow n \) haben
- P muss die Gleichung der Geraden h erfüllen, damit P auf der Geraden h liegt
ad 1) selber Normalvektor für g und h:
\(\begin{array}{l} g = 2 \cdot x - 5 \cdot y = - 6\\ \overrightarrow n = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ { - 5} \end{array}} \right) \end{array}\)
\(h:2 \cdot x - 5 \cdot y = {\text{? damit }}P \in h\)
ad 2) P muss die Gleichung der Geraden erfüllen, daher setzen wir Px und Py wie folgt ein:
\(\eqalign{ & {P_x} = 0 \cr & {P_x} = 0 \cr} \)
\(h:2 \cdot {P_x} - 5 \cdot {P_y} = 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 = 0\)
somit:
\(h:2 \cdot x - 5 \cdot y = 0\)
Optional - nicht erforderlich:
Umrechnung in die Hauptform bzw. die explizite Form der Geradengleichung, als alternative Darstellung:
\(\eqalign{ & 2 \cdot x - 5 \cdot y = 0\,\,\,\,\,\left| {:5} \right. \cr & \dfrac{2}{5}x - y = 0 \cr & y = \dfrac{2}{5}x \cr & {\text{mit:}} \cr & k = \dfrac{2}{5};\,\,\,\,\,d = 0; \cr} \)
... beruhigend dass d gleich Null ist, denn die Gerade h soll ja durch den Ursprung, also den Punkt (0|0) laufen und das setzt voraus, dass d=0.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
2 äquivalente Schreibweisen (Koeffizientenform bzw. Hauptform)
\(h:2 \cdot x - 5 \cdot y = 0\)
\(y = \dfrac{2}{5}x\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Alle äquivalenten Gleichungen sind als richtig zu werten. Auch die Angabe einer korrekten Parameterdarstellung der Geraden h ist als richtig zu werten.