Aufgabe 1444
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21.September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Gleichungssystem
Eine Teilmenge der Lösungsmenge einer linearen Gleichung wird durch die nachstehende Abbildung dargestellt. Die durch die Gleichung beschriebene Gerade g verlauft durch die Punkte P1 und P2, deren Koordinaten jeweils ganzzahlig sind.
Die lineare Gleichung für g und eine zweite lineare Gleichung (h1, oder h2 oder h3) bilden ein lineares Gleichungssystem.
- Satzteil 1_1: \({h_1}:{\text{ }}2x{\text{ }} + {\text{ }}y{\text{ }} = {\text{ }}1\)
- Satzteil 1_1: \({h_2}:{\text{ }}x{\text{ }} + {\text{ }}2y{\text{ }} = {\text{ }}8\)
- Satzteil 1_1: \({{\text{h}}_3}{\text{: y = 5}}\)
- Satzteil 2_1: hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen
- Satzteil 2_2: ist die Lösungsmenge des Gleichungssystems \(L = \left\{ {\left( { - 2\left| 4 \right.} \right)} \right\}\)
- Satzteil 2_3: hat das Gleichungssystem keine Lösung
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
Hat die zweite lineare Gleichung die Form __1___, so ___2__
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Lösungsweg
Zunächst bestimmen wir die Gleichung der Geraden g, deren Graph in der Angabe gegeben ist. Die „explizite“ Form der Geradengleichung lautet: \(g:\,y = k \cdot x + d\)
- Zuerst bestimmen wir den Koeffizienten k, also die Steigung der Geraden, wie folgt: \(k = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).
- Dann bestimmen wir d. Der Wert von d ist in der Skizze als der y-Wert an der Stelle x=0 direkt ablesbar
Um also k und d von der Geraden g deren Graph gegeben ist zu bestimmen bieten sich für k folgende 2 Varianten an:
- Variante 1: wenn x um 1 Einheit steigt, dann sinkt y um 0,5 Einheiten: \(k = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{ - 0,5}}{1} = - 0,5\)
- Variante 2: wenn x um 6 Einheit steigt, dann sinkt y um 3 Einheiten: \(k = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{ - 3}}{6} = - 0,5\)
Der Wert von d ist in der Skizze als der y-Wert an der Stelle x=0 direkt ablesbar: d=3
Somit lautet die explizite Geradengleichung zum gegebenen Graph: \(y = - 0,5 \cdot x + 3 \Rightarrow k = - 0,5;\,\,\,\,\,d = 3\)
Damit wir die Geraden einfach miteinander vergleichen können, formen wir von der impliziten in die explizite Form der Geradengleichung um:
- Satzteil 1_1: \({h_1}:\,\,\,\,\,2x + y = 1 \Rightarrow y = - 2x + 1 \Rightarrow k = - 2;\,\,\,\,\,d = 1\)
- Satzteil 1_2: \({h_2}:\,\,\,\,\,x + 2y = 8 \Rightarrow 2y = - x + 8 \Rightarrow y = - 0,5x + 4 \Rightarrow k = - 0,5;\,\,\,\,\,d = 4\)
- Satzteil 1_3: \({h_3}:\,\,\,\,\,y = 5 \Rightarrow k = 0;\,\,\,\,\,d = 5\)
\(g(x): y = - 0,5 \cdot x + 3\) | k=-0,5 | d=3 |
\(h_1(x): y = - 2x + 1\) | k=-2 | d=1 |
\({{\text{h}}_2}\left( x \right){\text{: y = - 0}}{\text{,5x + 4}}\) | k=-0,5 | d=4 |
\({{\text{h}}_3}\left( x \right){\text{: y = 5}}\) | k=0 | d=5 |
Man sieht: g und h2 sind parallele Gerade, da sie die gleiche Steigung k=-0,5 aber unterschiedliche Ordinatenabschnitte d haben. Parallele Geraden haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt, das Gleichungssystem g und h2 hat also keine Lösung. Somit können wir den Satz wie folgt ergänzen:
→ Hat die zweite lineare Gleichung die Form \(x + 2y = 8\), so hat das Gleichungssystem keine Lösung.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Hat die zweite lineare Gleichung die Form \(x + 2y = 8\), so hat das Gleichungssystem keine Lösung
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn für jede der beiden Lücken ausschließlich der richtige Satzteil angekreuzt ist.