Aufgabe 1465
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 5. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Gleichung einer Geraden
In der nachstehenden Abbildung sind eine Gerade g durch die Punkte P und Q sowie der Punkt A dargestellt.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden h, die durch A verlauft und normal zu g ist!
Lösungsweg
Alternative 1: Parameterform
Eine Gerade in Parameterform wird wie folgt angegeben: \(g{\rm{:}}\,\,\,{\rm{X = }}\overrightarrow a + t \cdot \overrightarrow b \) mit \(t \in {\Bbb R}\), wobei in diesem Fall \(\overrightarrow a\) und \(\overrightarrow b {\text{ }}\) Vektoren aus \({{\Bbb R}^2}\) sind.
- \(\overrightarrow a\) beschreibt dabei den Ortsvektors eines Punktes der Geraden g und \(\overrightarrow b {\text{ }}\) den Richtungsvektor. In diesem Fall können wir \(\overrightarrow a = P = \left( \begin{array}{l} 0\\ 2 \end{array} \right)\) wählen (der Vektor \(\overrightarrow a\) wird später nicht benötigt).
- \(\overrightarrow b {\text{ }}\) beschreibt den Richtungsvektor und wir definieren ihn als Vektor von P nach Q, also \(\overrightarrow b {\rm{ = }}\overrightarrow {PQ} = \left( \begin{array}{l} 3\\ 3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{l} 0\\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} 3\\ 1 \end{array} \right)\) .
Wir definieren den Punkt P als Ortsvektor \(\overrightarrow a\) der Geraden g und \(\overrightarrow {PQ}\) als Richtungsvektor \(\overrightarrow b {\text{ }}\)womit wir alle Bestimmungsgrößen von g haben: \(g{\rm{:}}\,\,\,{\rm{X = }}\left( \begin{array}{l} 0\\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{l} 3\\ 1 \end{array} \right)\)
Da die Gerade h durch den Punkt A verlaufen muss, definieren wir den Punkt A als Ortsvektor \(\overrightarrow c = A = \left( \begin{array}{l} 1\\ 5 \end{array} \right)\) der Geraden h.
Da die Gerade h normal auf g verlaufen muss, setzen wir \(\overrightarrow d {\rm{ }}\) als Normalvektor von \(\overrightarrow b {\text{ }}\). Am Einfachsten finden wir einen Normalvektor von \(\overrightarrow b {\text{ }}\) indem wir die x und y Komponenten von \(\overrightarrow b {\text{ }}\) vertauschen und einen der beiden Terme mit -1 multiplizieren: \(\overrightarrow d = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_2}}\\ { - {b_1}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - 3} \end{array}} \right)\)
→ Somit haben wir auch alle Bestimmungsgrößen von h: \({\rm{h:}}\,\,\,{\rm{X = }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 5 \end{array}} \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - 3} \end{array}} \right)\)
Alternative 1: Koordinatenform:
Wir setzen die jeweiligen Komponenten des Richtungsvektors \(\overrightarrow {PQ}\) als die Koeffizienten a und b. \(g{\text{:}}\,\,\,ax{\text{ + }}by = c\) mit a=1, b=3 und \(c \in {\Bbb R}\) (Den Koeffizienten c könnten wir durch Einsetzen des Punktes P berechnen – ist aber nicht nötig \(c = 1 \cdot 0 + 3 \cdot 2 = 6\) .)
\(h:\,\,\,{a_1}x + {b_1}y = {c_1}\) Da die Gerade h normal auf g verlaufen muss, vertauschen wir die Koeffizienten a und b der Geradengleichung g, also \({a_1} = b = 3\) und \({b_1} = a = 1\). Den Koeffizienten \({c_1}\) erhalten wir schließlich durch Einsetzen des Punktes A in die Geradengleichung \({c_1} = 3 \cdot 1 + 1 \cdot 5 = 8\).
Somit haben wir alle Bestimmungsgrößen von h: \(h:3x + y = 8\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- In Parameterform: \({\rm{h:}}\,\,\,{\rm{X = }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 5 \end{array}} \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - 3} \end{array}} \right)\) mit \(t \in {\Bbb R}\)
- In Koordinatenform: \(h:3x + y = 8\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte korrekte Parameterdarstellung der Geraden h bzw. eine korrekte Gleichung, wobei „t ∈ ℝ“ nicht angegeben sein muss. Äquivalente Gleichungen bzw. äquivalente Parameterdarstellungen der Geraden h sind ebenfalls als richtig zu werten.