Aufgabe 1536
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 6. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Rhombus (Raute)
In einem Rhombus mit der Seite a halbieren die Diagonalen e= AC und f= BD einander. Die Diagonale e halbiert den Winkel α= ∡ DAB und die Diagonale f halbiert den Winkel β= ∡ ABC
Aufgabenstellung:
Gegeben sind die Seitenlänge a und der Winkel β. Geben Sie eine Formel an, mit der f mithilfe von a und β berechnet werden kann!
Lösungsweg
Bei einem Rhombus (auch Raute genannt) sind alle 4 Seiten gleich lang, die einander jeweils gegenüber liegenden Winkel sind gleich groß, aber nicht rechtwinkelig. Wir beginnen unsere Überlegung mit dem Dreieck ABD. Davon haben wir die beiden Seiten AB=a und AD=a und einen Winkel \(\dfrac{\beta }{2}\) gegeben. Mit Hilfe des Kosinussatzes erhalten wir die dritte Seite f, denn es gilt: \({a^2} = {f^2} + {a^2} - 2 \cdot a \cdot f \cdot \cos \left( {\dfrac{\beta }{2}} \right)\)
Der Kosinussatz liefert
\({a^2} = {f^2} + {a^2} - 2 \cdot a \cdot f \cdot \cos \left( {\frac{\beta }{2}} \right)\)
Die beiden \({a^2}\) links und rechts vom Gleichheitszeichen kürzen sich weg, womit wie folgt gilt:
\(\eqalign{ & 0 = {f^2} - 2 \cdot a \cdot f \cdot \cos \left( {\dfrac{\beta }{2}} \right) \cr & {f^2} = 2 \cdot a \cdot f \cdot \cos \left( {\dfrac{\beta }{2}} \right) \cr & f = 2 \cdot a \cdot \cos \left( {\dfrac{\beta }{2}} \right) \cr} \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f = 2 \cdot a \cdot \cos \left( {\dfrac{\beta }{2}} \right)\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Formel. Äquivalente Formeln sind als richtig zu werten.