Aufgabe 1539
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Teilungspunkt
Die gegebene Strecke AB wird innen durch den Punkt T im Verhältnis 3:2 geteilt.
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Stellen Sie eine Formel für die Berechnung des Punkts T auf!
Lösungsweg
Die Strecke AB soll durch den Punkt T im Verhältnis 3:2 geteilt werden. Das bedeutet, dass Punkt T 3 Einheiten von Punkt A entfernt ist und 2 Einheiten von Punkt B. Insgesamt teilen wir die Strecke AB somit in 5 Einheiten.
Nun müssen wir noch darauf achten, in welchem Punkt A oder B wir uns befinden und in welche Richtung wir daher bei der Berechnung des Punktes T gehen müssen.
Der Vektor \(\overrightarrow {AB} = B - A\) hat die Orientierung von A nach B, hingegen hat der Vektor \(\overrightarrow {BA} = A - B\) die Orientierung von B nach A.
1. Berechnungsvariante:
Wir starten wir im Punkt A und gehen mit dem Vektor \(\overrightarrow {AB} = B - A\) von A in Richtung B. Da der Punkt T genau \(\dfrac{3}{5}\) der Strecke AB von A entfernt liegt, erhalten wir folgende Formel: \(T = A + \dfrac{3}{5} \cdot \overrightarrow {AB} \)
2. Berechnungsvariante:
Natürlich kann man alternativ auch im Punkt B starten. Dabei müssen wir nun aber \(\dfrac{2}{5}\) in die entgegengesetzte Richtung \(\overrightarrow {BA}\) gehen: \(T = B + \dfrac{2}{5} \cdot \overrightarrow {BA} \)
3. Berechnungsvariante:
Eine alternative Form erhalten wir, indem wir in die Definition des Verbindungsvektors \(\overrightarrow {AB} \) bzw. \(\overrightarrow {BA} \) wie folgt einsetzen. „Spitze minus Schaft Regel“:
\(\eqalign{ & T = A + \dfrac{3}{5} \cdot \overrightarrow {AB} = \dfrac{5}{5} \cdot A + \dfrac{3}{5} \cdot B - \frac{3}{5} \cdot A = \dfrac{2}{5} \cdot A + \dfrac{3}{5} \cdot B \cr & T = B + \dfrac{2}{5} \cdot \overrightarrow {BA} = \dfrac{5}{5} \cdot B + \dfrac{2}{5} \cdot A - \frac{2}{5} \cdot B = \dfrac{2}{5} \cdot A + \dfrac{3}{5} \cdot B \cr} \)
Man sieht, dass die beiden obigen Lösungen gleichbedeutend sind.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(T = A + \dfrac{3}{5} \cdot \overrightarrow {AB} \)
oder:
\(T = B + \dfrac{2}{3} \cdot \overrightarrow {BA} \)
oder:
\(T = \dfrac{2}{5} \cdot A + \dfrac{3}{5} \cdot B\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung