Aufgabe 1618
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 5. Aufgabe
Quelle: Distance-Learning-Check vom 15. April 2020 - Teil-1 Aufgaben - 5. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Rechter Winkel
Gegeben ist eine Strecke \(AB{\text{ im }}{{\Bbb R}^2}{\text{ mit }}A = \left( {3\left| 4 \right.} \right){\text{ und }}B = \left( { - 2\left| 1 \right.} \right)\)
Aufgabenstellung:
Geben Sie einen möglichen Vektor \(\overrightarrow n \in {{\Bbb R}^2}\) mit \(\overrightarrow n \ne \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0 \end{array}} \right)\)
Lösungsweg
Wir haben 2 Punkte A und B gegeben und errechnen den Verbindungsvektor gemäß der "Spitze minus Schaft Regel"
\(\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow v = Q - P = \left( {\matrix{ {{Q_x} - {P_x}} \cr {{Q_y} - {P_y}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {{v_x}} \cr {{v_y}} \cr } } \right)\)
\(\overrightarrow {AB} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( { - 2} \right) - \left( 3 \right)}\\ {\left( 1 \right) - \left( 4 \right)} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 5}\\ { - 3} \end{array}} \right)\)
Nun wenden wir die "Links Kipp Regel" an - wir hätten uns genauso gut für die "Rechts Kipp Regel" entscheiden können:
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 5}\\ { - 3} \end{array}} \right)\\ \overrightarrow {{n_l}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ { - 5} \end{array}} \right)\\ \overrightarrow {{n_r}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}\\ 5 \end{array}} \right) \end{array}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\overrightarrow {{n_l}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ { - 5} \end{array}} \right)\) oder gleichwertig \(\overrightarrow {{n_r}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}\\ 5 \end{array}} \right)\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine richtige Lösung. Jeder Vektor \(\overrightarrow n \in {{\Bbb R}^2}\) mit \(\overrightarrow n \ne \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0 \end{array}} \right)\), für den \(\overrightarrow n \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 3 \end{array}} \right) = 0\) gilt, ist als richtig zu werten.